待定系数法在高中数学解题中的应用

封灵芳

待定系数法是一种基本的数学方法，也是解决数学问题最常用的数学方法之一。那么什么是待定系数法？高中阶段的数学主要是以函数为主线来进行学习的，因此其定义是从函数的角度给出的：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数。这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

待定系数法的理论依据是多项式恒等原理，也就是依据了多项式 的充要条件是：对于一个任意的 值，都有 。或者两个标准多项式中各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未定系数的等式。运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，只要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达式，所以都可以用待定系数法求解。

下面我们通过一些具体的例子来体会下待定系数法的应用。

一、利用待定系数法进行因式分解

例1 分解因式： 。

分析：这是一个关于 的四次多项式，由于次数相对过高，不能使用十字相乘。分組分解法又有困难。经过验证由没有有理根。但是次数是确定的，我们能够根据次数大概猜测其因式分解以后的形式，这个时候我们可以引进待定系数法进行因式分解。

解：设

=

= ，

比较等式两边的多项式对应项的系数，列出方程组，得

，

解该方程，得到

，

所以

。

评析：与这个类型题相似解题的还有解方程、解不等式。如把题目改成解方程 ，或者解不等式 。这两种类型的题型的做法跟本题因式分解方法相同。

二、利用待定系数法拆分分式

例2将 化为部分分式之和。

分析：这类型的问题思路基本上跟因式分解类似，首先用未知数表示化为部分分式和以后的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，代入所设的部分和即可得结果。

解：由于 ，则可设

，则

，

由相等的多项式各项系数相等可列出方程组

，

解以上方程组得

，故

= 。

三、利用待定系数法求解曲线方程

例3已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 ， 为顶点的三角形的周长为 。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上已于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 ， 和 ， 。求椭圆和双曲线的标准方程（2010年山东高考）。

分析：要用待定系数法求解解析式，首先要知道函数解析式的形式，然后用字母表示出解析式。然后根据题目中给出的已知条件解出未知数，最后写出解析式。

解：设椭圆的半焦距为c，由题意可得：

椭圆的离心率为

，

根据几何关系，可得到关系式

，

联立上两式解方程组，得

， ，

又根据关系式 ，可得 。

故椭圆的标准方程为

。

由题意可设等轴双曲线的标准方程为 ，又由于等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以有 。

评析：用待定系数法求解曲线方程：椭圆、双曲线，抛物线等简单能估计其解析式形式的题型。

四、利用待定系数法求解函数式

例4是否分别存在满足下列条件的函数 ：

（1） 是三次函数，且 ， ， ， ；

（2） 是一次函数，且 。

如存在，求出 的表达式；若不存在，说明理由。

分析：首先假设函数存在，用字母设出函数的解析式，利用已知的条件建立方程或方程组，解方程组，求出未知数，写出函数解析式。

解：（1）设 ，则 。

由题意可建立方程式，得

，

解以上方程组，得

，

故存在满足条件的的函数 存在，表达式为 。

（2）假设 存在，由 是一次函数可知 是二次函数，故可设 ，则 。

将 和 代入已知条件，得

，

整理得

，

由等式两边各项系数相等，可建立方程组

，

解以上方程组可得

，

所以满足条件的 存在，表达式为 。

评析：利用待定系数法求解函数解析式，可以使问题简化。

五、利用待定系数法求数列通项公式

例5已知数列 中， ， ，设 ， ，求数列 的通项公式（2010高考全国卷一）。

分析：利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果。

解： ，则 ，

即 （1）。

则可设 ，即 。通过与（1）式比较，可解得 。

则 。

又有 ，故 。

故 是首项为 ，公比为4的等比数列，即 。

则 。

评析：对 ，当 时，若 为等差数列，则 ，则只需要要用叠加法即可求解。

对 ，当 且 时，若 为等差数列，则可设 ，那么可设 ，即

，

通过所设的式子与原式的对比可设方程组

，

解方程组得

，

故数列 为等差数列。

最后可以根据等差数列的性质及题目给出的条件求出数列的通项式。

教学本身是一门艺术，教师要唤起学生的兴趣，点燃学生智慧的火花，使学生的探究能力和创新能力得到发展。