3D建模中数学函数的巧妙应用（下）

杨玉轩+谢作如

要用“3D程序员”设计出具有圆滑曲线表面的模型，肯定离不开函数的帮忙。但初等数学中的函数毕竟有些简单，现在，我们来分析高等数学中常见的函数。

初等数学主要是常量的数学，即只考虑该问题的具体量。而高等数学更多的是变量的数学，考虑的是全体情况，追求研究问题的本质。

● 高等数学中的部分函数与应用

在高等数学中，反三角函数和复合函数是很常见的，如 （如图1）。

1.克莱因瓶和莫比乌斯环

克莱因瓶和莫比乌斯环是一类比较特殊的图形（如上页图2），公式用了大量的三角函数，十分复杂，但是根据公式也可以生成这类模型。

克莱因瓶的公式有点长，代码和效果如图3所示。

2.笛卡尔叶形线

笛卡尔叶形线是一个代数曲线，参数方程为：

在“3D程序员”中呈现的图像如图4所示。

通过变换操作以及旋转拉伸，最后再与圆管组合，便可形成一个漂亮的杯盖（如图5）。

需要注意的是，进行组合时，要考虑圆管是否能与杯子完全契合。同时还要注意拼接的细节，如盖帽儿与盖子的连接处是否牢固等。

● 高等数学中的部分空间几何图形与应用

1.马鞍面

在初等数学的平面几何基础上，又可以延伸出很多空间几何图形。马鞍面是一个比较典型的例子，公式为，代码及图形如图下页6所示。

“马鞍面”就是双曲抛物面，通过在不同视角观察可以很轻易地发现这一特点。可以利用“马鞍面”双曲的特点，做一个厨房水槽双面沥水篮（如下页图7），或者自行车架储物盒。

利用曲面开口不断放大的优势，可以很好地卡在水槽处，同时也能适应不同宽度的水槽（如下页图8）。

“马鞍面”上部分也呈曲面，生活中这样的形状也很常见，还可以将其用作干抹布的放置地。根据具体的需要，截取其中的部分是最常用的方法。

2.墨西哥帽子

空间几何图形的另外一个比较典型的例子便是“墨西哥帽子”，公式为，代码及图形如图9所示。

由于該形状的特殊性，我们可以直接将其用于人物模型中，如作为人物装饰用的帽子等，或者通过裁剪和叠加，变为喂鸡食槽（如图10）、烛台等。

● 结语

“3D程序员”作为一款用于3D建模的软件，与数学知识结合紧密是其最大的特色。在计算机中制作任何图形，其实都是对函数的调用。那么，怎么利用这些函数构建出一个既美观又能使用的物品，是“3D程序员”给使用者提出的挑战。在STEAM教育、创客教育的课例中，和数学联系紧密的其实并不多，“3D程序员”则给出了一个很好的研究方向。学生在造物（设计3D作品）的同时，又更加深入地体会了各种数学知识的妙用，一举两得。这才是创客教育的魅力所在。endprint