让“教”更有效

李进

摘 要：数学中的命题包括：公理、定理、公式、法则、数学对象的性质等，它们在中学数学中处于重要地位，也突显了加强中学数学命题教学的重要性。主要通过对命题教学过程中命题的引入和命题的应用这两个阶段的讨论，谈谈命题教学中的常用技巧，以期让教学变得更有效。

关键词：中学数学；命题教学；技巧

命题是由概念组合而形成的，如果不能掌握中学数学的命题，就不能学好中学数学。因此，加强中学数学命题的教学，历来是中学教学中十分重要的任务。命题教学的过程可以分为三个阶段：命题的引入、命题的证明和命题的应用。本文以若干教学设计片段为例，谈谈对命题教学的一些认识和体会。

一、命题引入形式的多样化

命题教学中，灵活恰当地设计引入方式，对于学生理解和掌握命题是十分有益的。具体来说，常用的引入方式有：

1.从数学知识发展内部引入

对已有的知识进行拓展、变化，得到新的定理。

以“两个平面平行的性质定理”为例。

学生认识事物是一个循序渐进的过程，在这之前学习了两个平面平行的判定定理，知识需要发展，自然需要讨论分别在两个平行平面内直线的位置关系。因此，让学生思考：

如果两个平面平行，那么：

（1）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？

（2）分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？

通过这些问题，讨论分别在两个平行平面内直线的位置关系，进而分析区分“异面和平行”的条件，自然地引出两个平面平行的性质定理及其证明。

这种运用已有的公理、定理进行推理导入新命题的引入方式，属于从数学知识发展内部引入。这类引入的例子还有很多，例如：从已知定理出发，运用命题形式的关系，构造其逆命题、否命题或逆否命题得到新命题，从而培养学生的逆向思维能力，开阔学生的视野。新的知识都是在已有知识基础上发展演变而来的，在教学过程中，要让学生经历知识探索的过程，体会数学知识之间的紧密联系，形成体系。

2.通过观察、归纳引入命题

以“向量平行的坐标表示”为例。

情境：已知A（1，0）、B（2，2）、C（4，1）、D（6，5），作出以A、B、C、D为顶点的四边形，并判断形状。

画出的四边形是梯形，引导学生从“形”上观察得出■与■平行，进而提出问题：研究坐标间的关系。■=（1，2），■=（2，4），由于前面有了向量共线定理、向量坐标运算的基础，可以得出■=■■，也验证了从图形上观察到的结论■∥■。学生再进一步观察得到■与■的坐标满足■=■。这时，教师再提出问题：能不能直接利用坐标判断向量是否平行？

设计意图：从“形”的角度观察向量平行，从“数”的角度探究坐标关系。

问题1：向量a=（3，4）与b=（6，y）平行，则y=________.

设计意图：验证刚才所得的结论（猜想）。教师追问学生：你是怎么得到的？追问理由，暴露思维过程，对后面定理的证明有简化的效果。

问题2：向量a=（1，-4）与b=（-2，8）是否平行？为什么？

设计意图：利用向量共线定理，b=-2a，得到a∥b。进一步引导学生利用坐标判断向量平行。

问题3：你能用自己的语言说出两个平行向量的坐标满足什么条件吗？

在这个过程中，学生得出的结论可能是：a=（x1，y1），b=（x2，y2），如果a∥b，则■=■；反过来，如果■=■，则a∥b。这时教师追问学生：还能怎么表示？这是重要提示语，帮助学生从多角度看待同一数学对象，这种情况在学习平面解析几何中直线平行的条件时也会遇到。最后师生不断修正，共同得出结论：

设a=（x1，y1），b=（x2，y2）（a≠0），如果a∥b，那么x1y2-x2y1=0；

反过来，如果x1y2-x2y1=0，那么a∥b。

设计意图：用观察、归纳的方法引入命题，通过问题串的方式突破难点。将结论一般化，让学生体会“特殊到一般”“具体到抽象”的数学思想方法。

3.通过类比引入命题

类比在数学发现活动中具有十分重要的作用，应该让学生学会自觉、科学地把类比方法运用到发现活动中。

以“正整数平方和公式的推导”为例。

记S1（n）=1+2+3+…+n；S2（n）=12+22+32+…+n2；S3（n）=13+23+33+…+n3。

把正整数的平方和按以下方式表示出来，有

12=1，

22=（1+1）2=12+2×1+1，

32=（2+1）2=22+2×2+1，

42=（3+1）2=32+2×3+1，

…

n2=（n-1）2+2（n-1）+1，

左右两边分别相加，得S2（n）=[S2（n）-n2]+[2S1（n）-2n]+n，

等号两边的S2（n）被消去了，所以无法从中求出S2（n）的值，但是却求出了S1（n）的值。那么，通过类比，能否求出S2（n）的值呢？事实上，通过类似的方法，利用S3（n）确实求出了S2（n）的值。

类似的例子还有很多，比如：由梯形的面积公式类比得到棱台的体积公式；由椭圆的性质类比得到双曲线的性质等等。把两个数学对象进行类比，开始可能只是模糊的念头，通过分析，清晰地認识到它们之间的“相似性”才会有科学的类比推理。数学发现活动是一个探索创造的过程，而类比推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用。

《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”命题的引入处于课堂的起始阶段，设置有吸引力的问题情境就很重要，可以激发学生研究解决问题的兴趣。布鲁纳认为：“学生不是被动的知识接受者，而是主动的信息加工者。教师要引导学生主动参与、积极探索、发现结论。”好的引入方式可以让学生经历、探索、发现知识，显然更符合课程标准要求。命题教学属于新授课，在教学过程中要注意揭示隐含的数学思想方法，发展学生的数学能力，提高数学素养。例如，“向量平行的坐标表示”设计中，设置的情境以知识为载体，让学生体会“数形结合”的数学思想方法。问题3将结论一般化，让学生体会“特殊到一般”“具体到抽象”的数学思想方法等等。

二、加强命题的应用

知识学习的目的是用来解决问题的，只有在解决具体问题中，才能更好地体会命题的用途。命题的应用又是训练学生逻辑推理能力的重要途径，因此，命题的应用是命题教学中不可缺少的重要环节。教学中要注意安排合适的例题，以达到巩固应用所学知识的目的。

1.直接应用

例题的选择最重要的是要结合教学目的进行选择，要由浅入深，由简到繁，由易到难，循序渐进。适当的時候可以补充变式训练，也要注意渗透数学思想方法。还是以“向量平行的坐标表示”一课为例。

例1.已知a=（1，0），b=（2，1），当实数k为何值时，向量ka-b与a+3b平行？并确定此时它们是同向还是反向？

解法1：坐标法；解法2：平面向量共线定理。

设计意图：解法1让学生熟练掌握向量平行的坐标表示；解法2是用向量解决向量问题。两种解法都涉及坐标运算，让学生感受到坐标运算的简捷，体会到形式化运算的优点，两种解法使学生思路变得更宽了。向量的表示形式有三种：几何表示、符号表示、坐标表示。“几何表示”侧重向量的“形”，“坐标表示”侧重向量的“量”，“符号表示”两者兼有。在学习向量时，不总是用坐标，还得多考虑用向量解决问题。

变式训练1：若向量a=（2，x）与b=（x，6）共线且方向相同，求x的值。

例2.已知点O、A、B、C的坐标分别为（0，0），（3，4），（-1，2），（1，1），是否存在常数t，使得■+t■=■成立？解释你所得到的结论的几何意义。

解法1：坐标法；解法2：由■+t■=■，可得到■-■=t■，即■=t■。

所以，只有当向量■与■共线时，才存在这样的常数t。而■=（-2，-3），■=（-1，2），它们不平行。因此，不存在满足题意的常数t。

设计意图：本题进一步让学生熟练掌握向量平行的坐标表示；解法2体现了“化归思想”。通过训练，学生对所学知识能理得清，记得住，算得准。

变式训练2：若A（-1，-2），B（4，8），C（5，x），且A、B、C三点共线，则x=________。

变式训练3：已知O（0，0），A（1，2），B（4，5）及■=■+t■，求t为何值时，（1）P在x轴上？（2）P在第二象限？

2.变式应用

有些命题形式简单但是变式多样，教学中应该通过对变式的构造，加深学生对命题本质的理解。以“基本不等式”为例。

基本不等式内容为：如果a，b是正数，那么■≤■（当且仅当a=b时取“=”）。

例3.已知a>0，b>0，求证：

（1）■+■≥2；（2）a+■≥2。

设计意图：将■、■，a、■分别看作一个整体，分析条件，判断是否满足基本不等式的条件，再运用基本不等式解题。让学生熟练掌握基本不等式，体验不等式变形的两种方法：恒等变形和代换。加深对基本不等式本质特征的认识，体会用变化的观点看待事物。

例4.已知a、b、c都是正数，求证：

（1）■+■+■≥6；（2）a+b+c≥■+■+■。

设计意图：分析题目条件并进行适当的变形，让学生熟练运用基本不等式。

例5.已知函数y=x+■（x>-2），求此函数的最小值。

设计意图：此例题是应用基本不等式求最值。首先要对表达式进行恰当的变形与转化，然后再使用基本不等式求最值。要注意满足三个条件：“一正、二定、三相等”，即使用基本不等式时，各项必须为正数，放缩后所得的值必须是一个定值，且等号必须能取到。

总之，要理清命题的条件和结论，寻找题目条件，更重要的是例题的选择要有层次，要有目的性和科学性。适当的时候还要选取一些以实际生活为背景的例题，让学生感受数学知识与实际生活的密切联系，同时也体现了数学在社会发展中的重要作用，最终使学生形成正确的数学价值观。

参考文献：

[1]钱国元.如何进行数学命题的教学[J].职业，2011（9）.

[2]胡晓静.数学命题教学中的导学案运用策略分析[J].语数外学习，2013（2）.

编辑 任 壮