数学建模思想与参数假设检验教学的融合

【摘要】本文首先探讨数学建模思想和参数假设检验教学之间的关系，并阐述了将数学建模思想融入到参数假设检验教学中的必要性与可行性；其次，结合参数假设检验的教学实践，给出了一个应用案例，讨论了数学建模思想融入到参数假设检验中的教学模式。最后发现，通过渗透数学建模思想于假设检验教学，是培养学生应用能力的一个有效途径，也是当前统计专业教学教改的一个方向。

【关键词】数学建模 参数假设检验

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）33-0103-02

一、引言

美国在20世纪80年代举行大学生数学建模比赛，加深了数学与应用学科之间的紧密联系。我国也于20世纪90年代引入了比赛，以激发我国学生对数学的热爱和兴趣，培养学生的实践应用能力。在数学建模的过程中，学生面对出题者给出的实际问题及数据，要根据题目本身的专业背景，结合数学知识，给出基本假设，设计解决方案并解之。通常需要來自不同专业的学生相互合作才能圆满完成。数学建模过程分为模型预备、模型假设、模型建立、模型求解和模型验证。学生通过数学建模，了解学习数学的用处和学好数学的优势，必将促进和提高学生学习数学基础课程的积极性。再次，数学建模的思想和方法一旦渗透入大学数学课堂将有助于提高数学教师的教学质量，特别是为年轻教师个人教学风格的培养创造了条件。

数学建模思想应与已有的课程教学内容有机结合起来，从而为大学数学教学改革提供一种全新的思路。如何把数学模型思想融入到概率统计的教学过程中，需要经过长期的探索。近来，任普强（1998）、刘琼荪（2006）研究了在工科高等数学中融入数学建模意识的教学方法，倪中新（2006）、李晓毅（2008）、颜亭玉（2013）、张利凤（2014）、袁玲（2014）、刘桂兰（2015）研究了在概率统计课程中融入数学建模意识的教学研究。这几年数学建模主题大部分与统计相关，如2013 年车道被占用对城市道路通行能力的影响与公共自行车服务系统问题。因此，在概率论与数理统计课程教学中融入数学建模的思想和方法，探索一些具有现实意义、应用性强的实例，让学生去分析、调查、研究，在探索的过程中体验随机问题的魅力，培养学生运用概率论与数理统计理论知识分析和解决实际问题的意识和能力是可行的。

假设检验的基本思想是小概率反证法思想。小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05）在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提出假设（检验原假设），再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小，则认为假设不成立，若可能性大，则还不能认为假设不成立。

假设检验的过程依赖样本信息，在一定可靠程度上对总体的有关情况进行推断。如果推断原假设正确时，通过检验予以保留，而当为错误时则加以拒绝。假设检验是一种不完全的统计归纳推理，通过数据检验所作的推断正确的概率较大，但也存在着犯错误的风险和可能，所犯错误分两类：第一类是为真但遭到拒绝，即所谓“弃真”错误；第二类是为假但被接受，即所谓“纳伪”错误，在统计假设检验中只有了解两类错误的发生缘由才能根据需要控制两类错误的发生。在课堂上，学生往往能够掌握参数假设检验的求解过程， 却不清楚假设检验模型建立的适用条件。在解题过程中，学生能按照要求顺利的进行参数假设检验，也能得到检验结果，但当时不能解释原假设和检验统计量的含义， 甚至在面对数据时并不知运用何种检验方法建立何种模型。因此，在概率论与数理统计中融入数学建模的思想是必要的。

二、将数学建模思想融入到参数假设检验教学中的模式

想要把数学建模思想融入大学数学课堂需要要在教师的日常教学中日益渗透。下面就以参数假设检验为例，谈谈如何把数学建模思想融入专业教学，如何提高学生的应用能力。为将数学建模思想融入到参数假设检验教学中，培养和提高学生以解决实际问题为核心的实践能力，在讲解参数假设检验的概念与原理时，应注重从日常生活的实际问题出发，选取易引起学生兴趣的案例进行启发式教学。这样能由直观到抽象，由简单到复杂，进而运用归纳类比，使学生主动去掌握相关的背景与实际意义，以问题为主线，发现、分析、解决问题，在此过程中学生加强了基本概念、方法的理解，提高了学习兴趣，能主动去探索未知的理论知识。因此，在参数假设检验教学中，应尽量做到概念、公式和定理的实际背景和应用实例贯穿起来，注重案例教学。例如运用假设检验解决产品促销问题等。通过融入数学建模思想，使参数假设检验教学与现实社会、生活背景与当今热点问题结合起来，让学生感觉学有所用。

1.在假设检验模型中引入数学建模思想

基本假设是统计模型和数学建模的前提，它的合理性关乎模型的合理性。假设检验模型中最重要的就是对原假设和备择假设的假设。原假设不一样可能导致不同的结论，原假设为何如此重要？下面以电子元件寿命为例。

某电子元件的寿命均为未知，现测得16件元件的寿命（小时）如下：159，280，101，212，224，379，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170。问是否有理由认为元件的平均寿命大于220（小时）（=0.05）？

因此我们不拒绝，即认为元件平均寿命大于220小时。

从上例知通过检验不同的原假设得出两种完全相反的结果，如果根据以往这种元件的情况或生产这种元件的厂方不好的信誉，认为平均寿命不超过220小时，只有非常不利于厂方的观察结果才能改变我们对这种元件不信任的态度。反之当我们交换原假设和备择假设时，我们事先根据这种元件以往好的信誉认为其平均寿命大于220小时，没有充分的理由是不能改变我们对这种元件的好的看法。通过学生积极讨论，得出这个充分的理由就是小概率原理，如果小概率事件在一次试验中发生那就有理由拒绝原假设，这样一来使数学建模思想和假设检验原理融合在一起，同时根据两个相异的结果，通过引导学生分析与抽象出问题的核心，从而建立比较合适的原假设的概念。通过这样的分析，学生对这个问题有了深刻的认识，也了解到基本假设合理的重要性。当然我们这里的模型建立和求解与数学模型中的还是有所区别，因为没有一个目标函数而是统计量的取值范围。

2.在假设检验模型建立和求解中引入数学建模思想

数学建模中有了基本假设之后，接着是建模及其求解。问题的焦点集中在接受原假设还是拒绝原假设，那就要找到一个小概率事件，观察在一次实验中小概率事件是否发生。这时可以引导学生思考，这样的小概率事件是唯一的吗？如何才能合理的找到最佳的一个小概率事件？随后可简单介绍一下枢轴量的构造原理和枢轴量在统计学中的重要性，再加上分位数的概念和置信区间的定义我们自然就能得出拒绝域的结论。

3.模型验证

模型的验证在建模过程中至关重要。没有验证就无法证明模型的可靠性稳定性。统计方法和数学建模在这个问题上的认识是一致的。就上例，验证的内容分为几个方面：一是基本假设是否合理；二是数据来源是否可靠；三是模型本身和结论是否能在实际应用中得到解释。首先看第一方面，因为题中问题是判断元件的平均寿命大于220，所以就只有二种结果，要么就是把大于220当做原假设，要么就把它当做备择假设。第二方面中数据来自现场测试，而且有时候只是纯粹做题，所以对数据来源这一块除非在论文发表时要求严谨。第三方面因为样本均值和总体均值之间的误差相对于标准差较小，所以可忽略不计，所以根据保护原假设的原则很难拒绝原假设导致二种不同结论。

4.在教学中融入建模思想

因为数学建模和统计方法都是应用知识解决实际问题，所以构建基本上程序是一致的。在数学建模中學生自己按照问题的性质提出假设，建立模型，求解模型和检验模型。而统计方法步骤相同，不过由于统计方法是现成的方法，我们只需要向学生展示这个步骤。因此，在课堂教学上，可以先介绍有关数学建模的思想及过程的预备知识，结合启发式教学，以数学建模的思路学习假设检验方法，搭建一座联系理论和实际应用的桥梁。

三、结束语

数学建模在锻炼学生理论应用实践方面起到了启发作用，也是培养学生对统计方法理论的理解和掌握，并能自主建模解决问题的良好途径。作为学习数学的一种新方式，数学建模能够为学生们提供自主学习与合作学习的空间，并且有助于学生们感受数学这一科目在解决一些实际问题时所表现来出的用处和意义。因此，将数学建模思想融入到数理统计的参数假设检验教学过程中，有利于提高学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，在这个过程中不仅提升了学生的综合水平，还提高了教师的自身素质，也会使整个课堂教学更具有说服力和吸引力。在教学中融入数学建模思想，不仅能培养学生综合运用各个方面知识解决问题的能力，还能培养学生的语言表达、科技写作、创新精神、团队合作等多方面能力，从而提高学生的整体综合素质。

通过参数假设检验部分内容学习的介绍，在今后的概率论与数理统计的教学中，我们需要不断融入和渗透数学建模的思想和方法。在教学过程中， 培养数学建模的思维方式， 强化理论与实际的联系，能够学以致用， 这才是最终教学目标。

参考文献：

[1]任普强等.以数学建模为突破口促进工科数学教学改革[J].工科数学，1998（14）.

[2]李大潜.数学建模与素质教育[U].中国大学数学，2002，（10）.

[3]颜亭玉.数学建模在农业院校概率论与数理统计教学中的应用研究[J].学园，2013.11：31-32.

[4]李江鹏，党晓晶.数学建模思想在概率统计教学中的融入[J].科技信息，2011（29）：29-99.

[5]刘琼荪，钟波.将数学建模思想融入工科“概率统计”教学中[J].大学数学，2006（2）：152-154.

[6]李晓毅，徐兆棣.概率统计教学与数学建模思想的融入[J].沈阳师范大学学报 （自然科学版 ），2008（26）：245-247.

[7]张利凤.融入数学建模思想的概率统计课程改革探索[J].教育教学论坛.2014.11第26期：145-147.

[8]袁玲，褚正清，李红菊.概率统计课程中数学建模意识的培养.南阳师范学院学报，2014.6，13（6）：61-63.

[9]刘桂兰.如何在《概率统计》课程中渗透数学建模思想[J].教育教学论坛，2015.2.第5期：274-275.

作者简介：徐小红（1975-），女，汉族，华南农业大学讲师，理学博士，主要研究方向为概率论与数理统计。