浅谈含参数不等式的解法

闫惠嫱

含参数不等式是历年来高考考查的重点内容，也是很多同学都感到比较困难的知识点，虽然其求解的一般思想方法大家都知道，即分类讨论思想，但要做到“不重”“不漏”“最简”三原则，还是有一定难度的。究其原因是不知因何而讨论？对什么进行讨论？如何划定讨论标准？文科学生显得尤为突出。而要想解决这个困惑，学生就必须弄清楚解含参数不等式有哪些类型，下面我们就介绍常见的三种含参数不等式的解法。

一、比较根的大小型

例1.解关于x的不等式x2-2x+1-a2≥0。

分析：二次项系数为1，不等式所对应的二次函数的图像是开口向上的抛物线，且对应的二次方程的根为1-a和1+a。

解：原不等式等价于[x-（1-a）][x-（1+a）]≥0

①当a>0时，1+a>1-a，∴原不等式的解集为{x|x≥1+a或x≤1-a}；

②当a=0时，原不等式等价于（x-1）2≥0，∴原不等式的解集为全体实数R；

③当a<0时，1+a<1-a，∴原不等式的解集为{x|x≥1-a或x≤1+a}。

小结：当含参数不等式能进行因式分解，而根的大小不易区别时，常通过做差法，由根的大小确定参数范围，进行分类讨论。

二、讨论二次项系数型

例2. 解关于x的不等式ax2+（1-a）x-1>0。

分析：△=（a+1）2为完全平方式，∴ax2+（1-a）x-1=（x-1）（ax+1）

因為二次项系数含有参数，不等式所对应的二次函数的抛物线开口方向就不能确定，因此， 需对二次项系数a在零点处进行分开讨论。

解：原不等式可以转化为（x-1）（ax+1）>0

（3）当-4

小结： 若含参不等式所对应的一元二次方程根的判别式不是完全平方式且其符号不确定，则应对方程是否有实根进行分类讨论，即对根的判别式的符号进行讨论。

综合以上的分析讲解，我们不难发现，在解关于含参数一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类的“不重”“不漏”“最简”，讨论需从如下三方面进行考虑：

1.关于不等式类型的讨论：“ 二次项系数”与 “零”的关系；

2.关于不等式对应方程根大小的讨论：方程的根存在，比较其大小，确定参数范围；

3.关于不等式对应方程有无实根的讨论：讨论根的判别式。

总之，要解含参数一元二次不等式要和一元二次方程、一元二次函数紧密联系在一起，从而可以更好的完成解题过程。