导数在解题中的妙用

郭新萍

【摘要】新课标理念下的导数学习，突显了导数在研究函数的性质诸如定义域、单调性、单调区间，极值、最值，导数的几何意义、生活中最优化问题等方面的方便快捷优势。新课标理念下的高考，除考查这些基础知识外，也比较多的涉及到数学的其它方面，本文就导数在求函数的值域、求函数的解析式、含参数的恒成立问题、确定方程根的情况、证明不等式、数列求和等方面的运用作一探讨。

【关键词】导数 ； 解题 ； 妙用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）7-0228-01

一、求函数的值域

二、求函数的解析式

例2.設y=f（x）为三次函数，且图像关于原点对称，当=， f（x）的极小值为-1，求函数的解析式。

解：设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），

因为其图像关于原点对称，即f（-x） =-f（x）

-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d

∴b=0，d=0 即f（x）=ax3+cx 所以f'（x）=3ax2+c

依题意曲线在极值点处切线的斜率为0

故函数的解析式为f（x）=4x3-3x

三、利用导数处理含参数的恒成立问题

例3.求出m的取值范围，使不等式x4-4x3>2-m对任意的x都成立。

思路：将含参数的不等式转化为函数问题，利用导数求得函数的极小值，方可确定出参数的范围。

解：令f（x）=x4-4x3 则f'（x）=4x3-12x2

再设f'（x）=0，可求得x=0或x=3，

当x<0时 f'（x）<0 当03时 f'（x）>0

此时 函数f（x）在x=3处有最小值，且最小值f（3）=34-4·33= -27

又f（x）=x4-4x3>2-m成立

所以-27>2-m成立，即可得m>29

四、利用导数确定方程根的问题

例4.确定方程 x3-6x2+9x-10=0的实根的个数。

解： 令f（x）=x3-6x2+9x-10 ，则f'（x）=3x2-12x+9

∴f'（x）=3（x-1）（x-3）

∴当x<1或x>3时 f'（x）>0 ∴ f（x）为增函数

当1

∴f（x）在x=1处有极大值，且极大值 f（1）=-6<0

故f（x）的极大值在x轴的下方，如图1，所以f（x）的图象与x轴只有一个交点，因此方程 x3-6x2+9x-10=0只有一个实根。

参考文献

[1]张海峰，黄寒凝.导数综合应用分析《中学课程辅导·教学研究》2011年第9期

[2]李朝东.高考档案——理科数学（新课标版）宁夏人民教育出版社.2014年高考备考用书