课改理念下“勾股定理复习”教学探究

刘兆明

摘要：新课改理念提倡“自主、合作、探究”的教学模式，时下轰轰烈烈的教学改革各出新招，细心探究其实质还是围绕“减负提质”而组织教学。

“勾股定理”是研究三角形的重要定理，它渗透了从代数的角度去研究几何图形的数形结合思想，给我们提供了研究数学的思想和方法，因此，教学中结合新的课改理念对勾股定理复习教学进行了探索：

关键词：勾股定理 教学设想 教学探究 反思评价

G633.6

教学设计与探究：

一、根据学生课前查找资料，收集本章中的错题后，设计归纳自主训练题型：

例1： 在Rt 中，a=8㎝，b=10㎝， ，求第三邊长c.

例2： 已知 中，三边长a、b、c为整数，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三边c的长.

例3 ： 判断下列三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=4、c=5.

例4：已知三角形的三边长为5、12、13，试说明三角形是直角三角形.

例5： 在Rt 中，已知两边长为3、4，求第三边的长.

二、学生交流、展示：

教师在巡视过程中发现的问题让学生展示在各组的黑板上

例1： 在Rt 中，a=8㎝，b=10㎝， ，求第三边长c.

错解：由勾股定理，得： ，

.所以第三边长为 ㎝.

分析：本题解法中错在没有正确运用题中所给的条件，忽视了 ，由于 ，所以b应为斜边，而不是c.

正解：因为 ， ， ，

，故第三边长为 6㎝.

学法指导：注意分清直角边和斜边

例2： 已知 中，三边长a、b、c为整数，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三边c的长.

错解： 由勾股定理，得 ， ， （㎝）.

分析： 勾股定理使的条件必须是在直角三角形中，本题解法是受“勾3股4弦5 ”的影响，错把 当成直角三角形，导致错误的使用勾股定理.

正解： 由三角形三边关系可得： ， ，又c为整数， C的长应为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.

学法指导：注意定理的应用条件

例3： 判断下列三条线断能否构成直角三角形：a=3、b=4、c=5.

错解： ，即 ，所以根据勾股定理可知，a、b、c能构成直角三角形.

分析：本题错在在解题依据上混淆了定理和逆定理的条件结论，勾股定理是由“形”推得“数”，而逆定理则是由“数”推得“形”.因此不可混用.

正解： ，即 ，由勾股定理逆定理可知，三条线段能构成直角三角形.

学法指导：注意定理和逆定理的区别

例4 已知三角形的三边长为5、12、13，试说明三角形是直角三角形.

错解：因为直角边是5和12，斜边是13 ，所以 ，故三角形是直角三角形.

分析：解法中错在一开始就明示了“直角边”和“斜边”，事实上只有在三角形是直角三角形的条件下才能称其为“直角边”、“斜边”.

正解： ，满足 ，由由勾股定理逆定理可知， 三角形是直角三角形.

学法指导：注意解题语言叙述

例5 ： 在Rt 中，已知两边长为3、4，求第三边的长.

错解： 因为 是直角三角形， 的第三边长为 .

分析： 本题错在只考虑3、4为直角边的可能，而忽视了4也可以作为斜边的情况，因此须分类讨论.

正解：（1） 若4为直角边，则第三边的长为 ；

（2） 若4为斜边， 则第三边的长为 .故第三边长为5或 .

学法指导：注意分类讨论

三、能力提升、交流讨论

例6：已知在 中，AB=4，AC=3，BC边上的高等于2.4，求 的周长.

例7：已知在Rt 中，两直角边的长为20和15， ，求BD的长.

学生解答：

例6：已知在 中，AB=4，AC=3，BC边上的高等于2.4，求 的周长.

错解：如图1所示，

由勾股定理，得 ，

， .

的周长为 .

讨论分析：上面解法中，只考虑了三角形的高在三角形内部的情况，忽视了高在形外的情况，即当 是钝角三角形时.因此须分类讨论.

正解：由勾股定理，得 ， .

（1）： 若 是锐角（如图1），则 ，这时 的周为

；

（2）：若 是钝角（如图2），

则 ，这时 的周长为 .所以 的周长为12或 .

例7：已知在Rt 中，两直角边的长为20和15， ，求BD的长.

错解： 如图3所示，

由题意根据勾股定理，得 ，又由面积法可得

，

，在Rt 中，由勾股定理得BD= .

讨论分析： 本题错在只考虑了AB的长是20的可能，忽视了AC的长也可能为20的情况.因此须分两种情况求解.

正解： 由题意根据勾股定理，得 ，又由面积法可得 ， .

（1） 当AB=20时，如图3，BD= .

（2） 当AC=20时，如图4，

BD= .

所以BD的长为16或9 .

四、课外拓展

例8：已知抛物线 的图象如图所示，点 为抛物线的顶点，直线 上有两个动点 和 ，且满足 ，在直线 下方的抛物线上存在点 ，使 为等腰直角三角形，则点 的坐标为____________________________.

五、通过复习谈收获

总之，应用勾股定理解题时的错误多种多样，但最根本原因是对定理不熟悉或理解不深刻造成的，为避免上述错误，大家一定要加强基础知识复习和训练，在正确理解的基础上强化练习，不断提高自己.endprint