全等三角形中的探索型问题

仇金祥

全等三角形中的探索型问题

仇金祥

一、条件探索型

例1如图1，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件___使得△ABC≌△DEF.

图1

【解析】要使△ABC≌△DEF，由FB=CE，AC∥DF，有BC=EF，∠ACB=∠DFE，所以由“ASA”可以添加∠B=∠E；由“AAS”可以添加∠A=∠D；由“SAS”可以添加AC=DF.

【点评】条件探索型问题是指结论给定，条件未知或不全，让同学们分析探索使结论成立的条件.解条件探索型问题的一般思路是：从题目的结论出发，逆向追索，逐步探究，得到答案.

二、结论探索型

例2如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是_______.

【解析】由△ABO≌△ADO，可知AB=AD，∠BAO=∠DAO，∠BOA=∠DOA.而∠BOA+∠DOA=180°，∴∠BOA=∠DOA=90°，∴AC⊥BD，①正确；在△ABC与△ADC中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴CB＝CD，②③正确；但是不能得到BD垂直平分AC，因此DA=DC不能成立.故所有正确结论的序号是①②③.

图2

【点评】结论探索题是指给出问题的条件，让同学们根据条件探索相应的结论；或者相应结论的存在性需要同学们进行推断，甚至要求同学们探索条件在变化中的结论.这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，然后经过论证做出取舍.

三、条件、结论探索型

例3如图3，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF.（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果……，那么……”）；（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由.

图3

【解析】（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；（2）选择如果①②，那么③.证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，在△ACE和△DBF中，∵∠E=∠F，∠A=∠D，AC=DB，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴CE=BF.选择如果①③，那么②.证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，在△ACE和△DBF中，∵∠E=∠F，∠A=∠D，EC=FB，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AC=DB，∴AC-BC=DB-BC，即AB=CD.

【点评】条件与结论开放探索题是指问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，这类问题的解题思路是：将已知的信息集中分析，挖掘使问题成立的条件或特定条件下的结论，并进行证明或判断.

（作者单位：江苏省兴化市缸顾中心校）