三角形全等问题中的常见错误剖析

黄世平

三角形全等问题中的常见错误剖析

黄世平

一、理解模糊

例1（2017·湖南怀化）如图1，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：，使得△ABC≌△DEC.

图1

【错解】添加条件：∠A=∠D或∠B=∠E.

【剖析】有些考生由于对全等三角形判定方法理解模糊，结果出现了错误答案.殊不知，当∠A=∠D或∠B=∠E时，结合已知条件，不能判断△ABC≌△DEC，它属于“SSA”型.

【正解】根据“SSS”可添加AB=DE；根据“SAS”可添加∠ACB=∠DCE或∠ACD=∠BCE.

【点评】利用“SAS”判定两个三角形全等时，要注意角应该是两边的夹角；有多种添加条件的方法时，应注意选择适当的方法.

二、不会转化

例2（2017·四川南充）如图2，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF.求证：AC∥BD.

图2

【错解】∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB=∠AFC=90°.在△DEB和△CFA中，∵DE=CF，∠DEB=∠AFC，AE=BF，∴△DEB≌△CFA（SAS），∴∠A=∠B，∴AC∥DB.

【剖析】错解的解题思路不错，但“SAS”判定方法中的边必须是三角形的边，而AE和BF不是△ACF和△BDE的边，所以要先转化为三角形的对应边，才能应用“SAS”.

【正解】将AE=BF转化成AF=BE即可.

【点评】说明三角形全等时，最终判定相等的边和角必须都是所判定三角形中的，不能找错.

三、忽视对应

例3在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝80°，AC＝17cm，在△DEF中，∠D＝70°，∠E＝80°，DE＝17cm，那么△ABC与△DEF全等吗？为什么？

【错解】△ABC≌△DEF.∵∠D＝70°，∠E＝80°，∠A＝70°，∠B＝80°，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E.又∵AC＝DE＝17cm，∴△ABC≌△DEF.

【剖析】错解认为只要有两角相等，一组边相等，两个三角形就全等，忽视了三角形全等判定条件中的“对应”.本题中∠A＝∠D，∠B＝∠E，则AC的对应边是DF，而不是DE，因此尽管具备了AC＝DE，却不能作为判定全等的条件.

【正解】不全等，如图3所示，当△ABC与△DEF的相等的边重合，即A与D重合，C与E重合，显然两个三角形不全等.

图3

【点评】在使用“AAS”判定两个三角形全等时，要注意“其中一个角的对边”中的“一个角”必须是相等的对应角.要说明一个结论不成立，只要举一个反例即可.

四、盲目迁移

例4如图4，已知AC、BD相交于点O，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BDC，AD＝BC.试说明△AOD≌△BOC.

图4

【错解】在△ADC和△BCD中，∵∠A＝∠B，∠ACD＝∠BDC，DC＝CD，∴△ADC≌△BCD（AAS），∴△ADC－△DOC＝△BCD－△DOC，即△AOD≌△BOC.

【剖析】本题错误地将等式的性质盲目迁移到三角形全等的判定中，三角形全等是不能根据等式的性质说明的.

【正解】在△ADO和△BCO中，∵∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，∴△AOD≌△BOC（AAS）.

【点评】说明三角形全等，要根据三角形全等的判定方法去寻找边与角对应相等的关系.

五、过度直观

例5如图5所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝CD，DE、DF分别垂直于AB、 AC，垂足为E、F.说明：BE＝CF.

图5

【错解1】（由图5直观得到DE＝DF，并以此为条件来解题）在Rt△BDE与Rt△CDF中，∵DE＝DF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝CF.

【错解2】（由图5直观得到AD⊥BC，并以此为条件来解题）在Rt△ABD与Rt△ACD中，∵AD＝AD，BD＝CD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），∴AB＝AC，∠BAD=∠CAD.∵DE、DF分别垂直于AB、AC，∴∠AED=∠AFD＝90°.在△AED与△AFD中，∵AD＝AD，∠BAD=∠CAD，∠AED=∠AFD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，∴BE＝CF.

【剖析】错解1和错解2中由图形直观得到的结论，没有经过推理，就直接作为条件应用，是错误的.

【正解】∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD；∵DE、DF分别垂直于AB、AC，∴∠AED=∠AFD＝∠BED=∠CFD＝90°.在△AED和△AFD中，∵∠BAD=∠CAD，∠AED=∠AFD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴DE＝DF.在Rt△BDE与Rt△CDF中，∵BD=CD，DE= DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝CF.

【点评】在解题时不能将由图形的直观得到的“结论”视为已知条件，证明的每一步必须有理有据.

（作者单位：江苏省兴化市昭阳湖初级中学）