扎根课本借题发挥

王媛

扎根课本借题发挥

王媛

判定一条直线是圆的切线主要有以下两种方法：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

解题时，要根据已知条件的特征，选择适当的判定方法.当已知直线过圆上某一点时，则作出过这点的半径，说明直线垂直于这条半径，即“作半径，证垂直”；当直线与圆的公共点没有确定时，则应过圆心作直线的垂线，说明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”.

（苏科版《数学》九年级上册第67页例2）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC.判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由.

图1

【分析】根据图形我们可猜测直线AD与⊙O相切，证明直线与圆相切，已知半径证垂直即可.

【解答】直线AD与⊙O相切.

理由：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°.

又∵∠CAD=∠ABC，∴∠CAD+∠BAC=90°，

即AD⊥AB，

∴直线AD与⊙O相切.

【变式一】（2015·武威）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.

（1）如图2所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件（要求写出两种情况）：____________或者____________.

图2

（2）如图3所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗?试证明你的判断.

图3

【分析】第一问是例题的逆命题.要使EF成为⊙O的切线，已知半径，添加的条件能使得半径与EF垂直即可.第二问，将例题的条件“直径”弱化成“弦”，如果我们将“弦”重新转换成直径，利用“同弧所对的圆周角相等”，就可以将这道题转化为例题解决.

【解答】（1）∠BAE=90°；∠CAE=∠B.

（2）EF是⊙O的切线.

证明：作直径AM，连接CM，

图4

则∠ACM=90°，∠M=∠B，

∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°.

∵∠CAE=∠B，∴∠CAM+∠CAE=90°，

∴EF⊥AM，

∵AM为直径，

∴EF是⊙O的切线.

【变式二】（2016·宿迁）如图5，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆.

图5

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）当BD是⊙O的直径时（如图6），求∠CAD的度数.

图6

【分析】看到要证明切线，可以“做半径，证垂直”，或者“作垂直，证半径”.此题通过外角性质，可将题目条件：“∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3”转化为“∠ABC=∠CAD”，这样第一问就转化成变式一的第二小问，按同样的方法可解决问题.第二问利用“直径所对的圆周角是直角”即可解决问题.

【解答】（1）连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图7所示.

图7

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3，

∠ADB=∠ACB+∠CAD，

∴∠ABC=∠CAD，

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，∴∠EAD=90°-∠AED，

∵∠AED=∠ABD，

∴∠AED=∠ABC=∠CAD，

∴∠EAD=90°-∠CAD，

即∠EAD+∠CAD=90°，∴EA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线.

（2）∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，∴∠ABC+∠ADB=90°，

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB=1∶2∶3，

∴4∠ABC=90°，∴∠ABC=22.5°，

由（1）知：∠ABC=∠CAD，∴∠CAD=22.5°.

教材中的例题是把我们所学的知识技能和思想方法联系起来的一条纽带.对一道题目进行条件变换、结论探索、逆向思考等多角度、多方位的探讨，将一个题变为一类题，可以达到举一反三、触类旁通的目的，有利于培养同学们良好的思维品质及探索、创新的能力.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）