变式教学在初中几何教学中的应用探究

李曙

【摘要】本文阐述变式教学应遵循教学的适度性、针对性以及鼓励学生积极参与三个原则，结合变式教学在解决初中几何图形面积最值问题中的应用实例论述变式教学在初中几何教学中的应用策略。

【关键词】初中数学 变式教学

几何图形 面积最值

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）08A-0075-02

每一个人的求学路上都存在着不同级别的“分水岭”——中考、高考、考研、考博等，教师都希望学生能不断地学习，得到更良好的教育，学到更全面的知识。要想提高学生的学习能力，一个很关键的因素就是学生要有较强的发散思维，特别是在初中阶段，如果一个学生的发散思维得到了很好的训练，那么他在学习的过程中将会达到事半功倍的效果，对其今后的求学，甚至工作都能起到决定性的作用。变式教学就是一种针对学生发散思维较为有效的数学教学方法，在初中数学的教学过程中有着极高的应用价值。变式教学旨在拓展学生的数学能力，提高学生灵活思考和解决问题的能力以及促进学生多角度和多层面思考问题。

一、变式教学原则

教师在初中数学教学过程中运用变式教学应该坚持教学方法的适度性、针对性以及鼓励学生积极参与的三大原则，这样才能更好地发挥变式教学的作用；教师按照学生的学习接受能力和理解能力变换问题，在不改变数学原题的本质的基础上从不同的角度出发，对数学问题进行合理变化，如变换条件、问题或者提问形式等，将问题呈现在学生面前，利用问题变式，逐步推进，使学生的数学思维能够更完整地建立起来。

二、教學案例

（一）课本的典型例题、习题是数学问题的精华

教师在教学中要善于借助课本中出现的练习题，让学生在熟悉了知识点后快速获得训练，以此来巩固学生所学。但是在实际教学中，部分教师在讲解课后练习题的时候，往往只是单纯地为了讲解某一道题而讲评，甚至在学生还未真正理解这一类型题的解法的时候，教师又开始讲另一种类型题的解法。这种教学方法如同“水过鸭背”，更别说让学生对同一类题型的解题方法得到进一步的巩固和运用了。为了让学生获得对某一类题型的解法的深刻、系统的认识，笔者选取了人教版九年级上册P52综合运用的第7题作为例1：

如图1，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

1.分析题目：

①题型分析：本题属于函数与几何图形的综合运用，主要考查如何利用二次函数的性质解决几何图形面积的最值问题。

②已知：四边形ABCD与四边形EFGH是正方形；点E、F、G、H在正方形ABCD的四条边上。求解：点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

③难点分析：题目中没有给出任何数值，学生入手较难；如何找等量关系，建立二次函数模型。

④关键点：根据正方形的性质，确定判定三角形全等的条件；引导学生设立未知数，用未知数把正方形EFGH的边长表示出来，从而得出正方形EFGH的面积的表达式，建立函数模型。

2.题目的解法：

①审题

对初中生来说，“函数”是非常抽象的概念，学生难以理解，更别说还需要综合全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、二次函数的性质来解决问题。因此，教师在展示题目后，可以设计以下问题让学生读题思考：

（1）题目中的已知条件是什么？

（2）该如何理解“点E在何处时，正方形EFGH的面积最小”？

（3）EH除了是正方形EFGH的边长，还与哪个图形有关？

（4）线段AE、AH与正方形ABCD有什么关系？

（5）正方形ABCD的边长是多少？

（6）正方形EFGH的边长（以EH为例）如何表示？

（7）所求的正方形EFGH的面积该如何表示？

②师生探讨解题思路

第一步：证明图1中的任意两个三角形全等；

第二步：设立未知数；

第三步：建立二次函数模型；

第四步：根据二次函数性质，求最值。

③解决问题：

师生共同完成答案的书写工作。

（二）在学生已掌握课本习题的基础上进行变式训练

教师在数学教学中不应局限在狭窄的课本知识领域里，而应该让学生在对知识和技能初步理解与掌握后，进一步深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三。在对例1充分讲解的前提下，笔者对原题进行以下变式：

变式一：如图2，从矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别为AE，DE，点E在何处时，剪下的两个正方形的面积之和有最小值？

变式意图：本题与例1为同一类型题，在未给出任何数据的前提下需要确定点的位置。学生能够运用类比的数学学习方法，迁移知识点，明白本题就是考查二次函数与几何图形面积的最值问题的解法，大多学生可以独立完成此题，但仍需注意未知数的选取和函数关系式的确立。本次变式训练让学生对解决无具体数据、函数与几何结合的题型得到很好的训练与知识巩固。

变式二：如图3，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为正方形ABCD各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形的面积为y，AE为x，则y的函数图象大致是（ ）。（本题为2011年兰州市中考题）

变式意图：本题与例1的几何背景相同，但是还是有区别的：已知条件中正方形的边长为具体数值1，所求问题变式为利用二次函数解析式求函数的图象，需要特别注意自变量的取值范围。选取本题作为变式训练题，既可以让学生预先接触中考题型，让学生注意中考的方向，又可以让学生达到举一反三的学习效果。

变式三：如图4，等边△ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，当点G在何处时，△EFG的面积最小？

变式意图：本题变换了几何背景，与求解正方形的面积问题相比较，求解等边三角形的面积问题较为复杂。学生在解答本题时需要正确添加辅助线、灵活运用三角形的边角关系，这对学生来说具有一定的难度。笔者在讲解此题时采取的是让学生在小组中探究学习的教学方式。

最后，教师与学生进一步归纳得出在解答有关运用二次函数求几何图形面积的最值问题时，应遵循以下规律：

（1）引入自变量，利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数关系式；

（2）把关系式转化为二次函数的解析式；

（3）结合实际意义，确定自变量的取值范围；

（4）求二次函数的最大值或最小值。

常言道，“想要给学生一瓢水，自己就要有一桶水。”作为一名教师，我们必须要掌握一定的专业知识。变式教学既可以促进教师多思考、多归纳，又可以培养学生的发散思维，让学生系统地掌握更多的知识。变式教学是一种较为成熟和教师常用的教学方法，在初中教学中具有一定的优势，但与其他教学方法一样，变式教学并不是万能的。本文针对人教版课本中的一道习题给出了三个基本变式，只是教学方法层面的一些探究，变式的类型并不全面。在初中数学变式教学中，将数学题目的基本条件、问题、图形进行变化，对初中生开拓思维和培养数学能力意义重大，教师在教学中要注意把握变式教学中水平变式问题的“量”和垂直变式问题的“度”的问题，水平变式题适当地“重复”使“双基”教学得以实现，利于引发量变到质变；垂直变式问题突破适度，利于学生思维尽情发散。

（责编 刘小瑗）endprint