基于神经网络补偿的线性弹道落点预报方法

赵捍东，黄 鑫，马 焱

(1.中北大学机电工程学院,山西 太原 030051;2.东北大学信息科学与工程学院，辽宁 沈阳 110000)

基于神经网络补偿的线性弹道落点预报方法

赵捍东1，黄 鑫2，马 焱1

(1.中北大学机电工程学院,山西太原030051;2.东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110000)

针对线性化法预报弹丸落点存在侧向速度、角速度计算复杂和适用范围小的问题，提出了基于神经网络补偿的线性弹道落点预报方法。该方法在线性假设下，对刚体六自由度弹道进行线性化处理，得到线性弹道模型；将弹丸的圆周运动方程组视为线性定常系统，利用系统的解得到圆周运动的解析式，并利用梯形近似法处理其他参数的导数，得到基于线性弹道的落点预报解析式；然后利用神经网络理论设计了补偿项，不仅解决了线性化法适用范围小的问题，还提高了线性弹道预报落点精度。数值仿真测试结果表明，该方法预报弹丸射程和横偏的最大误差分别约为4 m和7 m，预报落点时间约0.024 ms，比解算6D弹道的时间少了1.451 s。因此，该方法可为快速精确预报弹丸落点提供理论参考。

神经网络；线性弹道；落点预报；改进型梯度下降法

0 引言

在当今战争中，精确打击成为弹药发展的主攻方向。其中，弹道修正弹是实现精确打击且性价比较高的弹药。因此，弹道修正技术成为了精确打击的核心技术，而快速精确地预报弹丸落点是其关键技术之一[1]，有必要对弹丸落点预报的快速性和精确性进行理论研究。

目前，大量学者对实现快速准确预报弹丸落点的方法进行了理论研究。其中，数值积分法是采用四阶龙格库塔法对刚体外弹道方程进行解算，该方法的不足之处在于落点预报的精度十分依赖弹载计算机的处理性能和迭代步长，且解算时间长和迭代过程中易产生较大的累积误差[2]；文献[3—4]将卡尔曼滤波引入落点预报，能降低随机噪声和累积误差对预报精度的影响，但具有较长的预报时间；文献[5—7]分别采用RBF、BP神经网络对复杂非线性弹道落点预报函数进行逼近，得到了弹丸落点预报模型，该方法在预报精度及预报时间上有较大改善，但仍有提升空间；文献[8—10]将刚体外弹道方程进行线性化处理，推导出弹丸落点预报公式，其中，文献[8—9]是基于线性弹道解析式，周期性更新弹道参数来预报弹丸落点，该方法存在侧向速度、角速度等参数计算复杂的缺点，而文献[10]结合剩余飞行无量纲弧长，推导出弹丸落点预报公式，该方法虽能够较快、较精确地预报弹丸落点，但存在适用范围小的缺点。因此，本文针对线性化法预报弹丸落点存在侧向速度、角速度计算复杂和适用范围小的问题，提出了基于神经网络补偿的线性弹道落点预报方法。

1 弹丸的弹道模型

弹丸的刚体六自由度弹道方程是能够准确表示弹丸飞行的运动状态，结合文献[5]的弹道模型，作简要概述。

1.1 刚体六自由弹道方程

假设在理想的条件下，在地面坐标系和弹轴坐标系中分别建立弹丸飞行的运动数学模型和动力学模型，则弹丸的六自由度外弹道方程可用如下公式表示：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，x,y,z是弹丸质心在地面坐标系下的位置三分量：φ,ψ,θ分别表示弹丸在地面坐标系下的滚转角、偏航角和俯仰角；F,M分别表示弹体受到的合外力和合外力矩；u，v，w,p,q,r分别表示弹丸在弹轴系下的速度、角速度分量；m表示弹丸的质量；Iξξ,Iηη,Iζζ分别表示弹丸在弹轴坐标系下对ξ,η,ζ轴的转动惯量。

弹丸飞行过程中所受的合外力主要包括气动力Fa，马氏力Fmag和重力Fg，每个外力在弹轴坐标系下的分量用如下公式表示：

(5)

(6)

(7)

S=πd2/4

tanα=v/u

tanβ=w/u

式中，Faξ,Faη,Faζ分别表示弹丸所受气动力在弹体坐标系下的三分量；Fmagξ,Fmagη,Fmagζ分别表示弹丸所受马氏力在弹轴坐标系下的三分量；Fgξ,Fgη,Fgζ分别表示弹丸所受重力在弹轴坐标下的三分量；S表示弹丸特征横截面积；ρ表示空气密度；d表示弹径；Cx0，CY0，CZ0分别表示在弹轴坐标系中的零攻角的各轴向力系数；Cx1，CY1，CZ1分别表示在弹轴坐标系中有攻角的各轴向力系数；α，β分别表示纵向攻角和侧向攻角；V表示弹丸在地面坐标系下的合速度大小。

弹丸在空中受到的力矩主要包括：静力矩Mz，阻尼力矩Mzd和马氏力矩Mmag。其中，每个力矩可以用如下公式计算：

(8)

(9)

(10)

式中，Mzξ,Mzη,Mzζ分别表示静力矩在弹轴坐标系下的三分量；Mzdξ,Mzdη,Mzdζ分别表示阻力力矩在弹轴坐标系下的三分量；Mmagξ,Mmagη,Mmagζ分别表示马氏力矩在弹体坐标系下的三分量；rzξ,rzη,rzζ分别表示弹丸质心到压心的矢径在弹轴坐标系下的三分量；CDD是尾翼导转力矩的系数；CLP表示极阻尼力矩系数；CMQ表示俯仰阻尼力矩系数；CNR表示偏航阻尼力矩系数；rmagξ,rmagη,rmagζ分别表示马氏力在弹体上的作用点到质心矢径在弹体坐标系下的三分量。

1.2 线性弹道模型

1.2.1线性假设

对六自由度刚体弹道方程进行线性化处理，其假设条件如下：

1)弹丸在飞行过程中，偏航角ψ很小，简化为：

(11)

2)弹丸飞行稳定期间，气动攻角较小，简化为：

(12)

3)弹丸的轴向速度u、滚转角φ以及绕纵轴滚转角速度p在数量级上大于弹丸的侧向速度v和w、偏航角ψ、俯仰角θ、俯仰角速度r以及偏航角速度q，因此忽略小量之间的乘积和小量导数之间的乘积。

4)弹体为轴对称体，气动轴也对称。则气动力系数为：

Iηη=Iζζ

(13)

CY0=CZ0=0

(14)

CY1=CZ1=CNA

(15)

CMQ=CNR

(16)

rzη=rzζ=0

(17)

rmagη=rmagζ=0

(18)

1.2.2线性弹道方程

则以符号ξ为例，变量对时间t的导数与对无量纲弧长s的导数之间的关系为：

式中，“·”表示变量对时间t求导；“′”表示变量对无量纲弧长的求导。

依据线性假设条件，同时假设弹丸所受到力和力矩主要有气动力、马氏力、重力、静力矩和阻尼力矩，则弹丸的线性弹道为：

x′=dcosθ-(d/V)vsinθ

(19)

y′=dsinθ+(d/V)vcosθ

(20)

z′=dψ+(d/V)w

(21)

φ′=(d/V)p

(22)

ψ′=-(d/V)q

(23)

θ′=(d/V)r

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

综上所述，式(19)—式(30)组成了线性弹道方程，因此，可利用线性弹道解算弹道。

2 基于神经网络补偿的线性弹道的落点预报方法

2.1 线性弹道解析解

在推导线性弹道落点预报模型的过程中，假设气动参数为常数，弹丸的合速度及滚转角速度相对于其他变量变化缓慢，只有求解本身时将其看作变量，其他情况均视为常数。将侧向速度的导数及侧向角速度导数组成弹丸的圆周运动，整理成矩阵形式：

(31)

令

D=dpIξξ/Iηη。

则式(31)等价于：

(32)

(33)

在假设中，气动参数及弹道参数是常数，所以A、B均为常数矩阵，将式(33)看作线性定常系统。由文献[11]可知A存在两对共轭复数，即四个互异的特征值，设为λf±iΦf和λs±iΦs，则一定存在可逆矩阵P将A化为约当规范形。

(34)

式中，

因此，将原系统化成约当规范形，则该系统状态方程的解为：

(35)

式中，

(36)

将式(36)带入式(35)中得到：

(37)

则

(38)

所以可通过式(38)来计算v，w，q，r的值。

对于式(23)、(24)和(19)—(21)，根据梯形近似法求解积分得到：

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

综上所述，式(38)—式(43)为线性弹道方程近似解析解。

2.2 剩余弧长的估计

为了预报弹丸落点信息，得到线性弹道方程的解析解是不够的，还需对剩余弧长进行预估，然后代入式(38)—式(43)中，得到弹丸的落点信息，即射程与横向偏差信息。

采用GPS等作为弹丸的探测设备，可获得弹丸在地面坐标系下的位置(x,y,z)，速度(Vx,Vy,Vz)。假设地面是水平，且作用在弹丸的外力仅有重力和气动力，则合外力在地面坐标系下y轴方向上的合力为：

Fy=Fg+Fay

(44)

式中，Fg=-mg；Fay=Faξsinθcosψ+Faηcosθ-Faζsinθsinψ。

当弹丸在弹道末段的某一点开始进行落点预报，因弹道较短，假设弹丸在这一时间里，气动参数为恒值，则弹丸在地面坐标系y轴上作均加速运动，即

(45)

由于剩余飞行时间大于等于零，所以公式(45)的根为：

(46)

那么剩余飞行弧长为：

(47)

式中，F表示弹丸所受到合外力的大小。则剩余无量纲弧长s可表示为：

(48)

2.3 基于神经网络的补偿项设计

本文是在弹道线性化及剩余弧长估计基础上，推导得到的弹丸落点预报解析式(38-43)具有较差的精度，有必要设计自适应补偿项修正该法的精度。由于弹丸在飞行过程中，其动力学模型是非线性的，因此，将补偿项模型考虑为非线性函数：

Δx(i)=fx(s(i),x(i),z(i))

(49)

Δz(i)=fz(s(i),x(i),z(i))

(50)

式中，Δx(i)，Δz(i)分别表示当前时刻的射程预报误差和横向预报误差；s(i)表示当前时刻的剩余弧长估计；x(i)和z(i)分别表示弹丸当前时刻的射程与横向位置信息。

式(49)、式(50)可整理成：

Δxz(i)=f(s(i),x(i),z(i))

(51)式中，Δxz(i)=[Δx(i),Δz(i)]T，f(s(i),x(i),z(i))=[fx(s(i),x(i),z(i)),fz(s(i),x(i),z(i))]T。

神经网络可被用来近似非线性函数[12]，我们也可以使用神经网络来近似公式(51)，得到：

(52)

式中，Δxz(i)=[Δx(i),Δz(i)]T；ω*∈R2×n表示神经网络最优权值；F(·)∈Rn×1表示BP神经网络基底；ε表示神经网络的重构误差，且满足‖ε‖≤ε*，ε*表示重构误差的边界。

考虑对式(52)的估计形式为：

(53)

(54)

BP神经网络采用梯度下降法作为网络权值调整律，得到合适的网络权值。本文为加快收敛速度，且提高历史样本数据的利用率，对BP神经网络的权值调整律作如下改进：

在引出神经网络权值调整律以前，需要作如下定义：

Z=[F(s(i1),x(i1),z(i1)),…,

F(s(ij),x(ij),z(ij))]

(55)

式中，Z表示历史样本数据；i表示弹丸当前时刻；ij表示第i时刻以前时刻的第j个，其中，j≤i；Z表示在i1～ij时刻之间所记录的历史数据。

在所记录的历史数据中第j个样本可表示为：

(56)

(57)

本文采用的网络权值调整律为：

ΓeijFT(s(ij),x(ij),z(ij))

(58)

该权值调整律可以充分利用历史数据来提高权值的收敛速度，下面我们证明采用式(58)可使权值估计值收敛到真值。

证明：

ΓeijFT(s(ij),x(ij),z(ij))=

(59)

本文考虑李雅普诺夫函数为：

(60)

式(60)对时间求导得到：

(61)

其中,

(62)

当ε≠0时，令

(63)

εN=εiFT(s(i),x(i),z(i))+

(64)

(65)

因此，无论ε是否等于零，在一定条件下，神经网络权值估计均可以收敛到真值。

综上所述，基于神经网络补偿的线性弹道落点预报解析式为：

(66)

(67)

式中，0表示弹丸当前时刻。文中涉及到的弹道参数可由相应方法计算[13-14]。

3 落点预报仿真分析

3.2 落点预报精度分析

为验证该方法预报落点的可行性，下面落点预报精度进行分析。考虑在较大射程，且有较大弧度的弹道曲线情况下，分析该法的预报精度。因此，以某型榴弹为例，初始条件：弹丸的初始位置是在地面坐标系下的坐标原点，即x=0m，y=0m，z=0m，初始速度1 000m/s，初始滚转角0°，初始偏航角2°，滚转角速度1 700rad/s，偏航和俯仰角速度均为0rad/s，然后解算六自由度刚体弹道方程，作为基准弹道，其落点信息就作为实际落点。

建立图1所示的BP神经网络数学模型，隐含节点数为100。将射角为45°、50°、55°的弹道数据整理成图1中神经网络输入向量和输出向量形式的训练样本，网络权值调整律采用式(58)，经训练后得到最优权值，图2表示训练误差随训练次数收敛过程。

在三条弹道曲线的弹道高开始，每0.1s时刻的弹道点作为弹丸落点的预报点，每条弹道上共取5个预报起始点，则仿真结果如图3、图4所示。

图1 射距和横偏补偿项的神经网络拓扑结构Fig.1 Neural network topology structure of range and lateral deviation

图2 训练误差Fig.2 Training error

图3 基于神经网络补偿的线性弹道预报射程的误差Fig.3 Range prediction error of linear trajectory based on neural network compensation

图4 基于神经网络补偿的线性弹道预报横偏误差Fig.4 Lateral deviation prediction error of linear trajectory based on neural network compensation

如图3、图4可知，该方法在距离目标较远处预报射程误差最大约4m，预报横偏误差最大约7m，因此，可验证该法在距离目标较远处、且有较大弧度的弹道时，具有较高的预报精度。如果要求该方法适用于全弹道的预报，则需要重新设计一种更加准确，且更适用于全弹道的无量纲剩余弧长预估公式，这将是笔者今后研究工作。

3.3 落点预报快速性分析

为研究该预报方法的快速性，需对其预报落点快速性进行仿真分析。选取某条弹道上的5个预报起始点，分别对6D弹道和神经网络补偿的线性弹道落点预报方法进行快速性仿真测试，结果如表1所示。

表1 6D弹道和带补偿项的线性弹道预报方法的预报时间对比

由表1可知，使用神经网络补偿的线性弹道落点预报时间平均约0.024 ms，相比于解算6D弹道方程所用的时间，要少1 451.342 ms，约1.451 s。因此，该预报方法在快速性上得到了很大的提升，可快速预报弹丸落点。

4 结论

本文提出了基于神经网络补偿的线性弹道落点预报方法。该方法将弹丸的圆周运动方程组视为线性定常系统，利用系统的解得到圆周运动的解析式。相比于拉普拉斯变换，其侧向速度、角速度等参数计算简单，便于计算机的编程。然后利用神经网络理论设计了线性弹道落点预报的补偿项，不仅解决了线性化法适用范围小的问题，还保证了线性弹道落点预报的精度。再利用历史样本数据，对BP神经网络权值调整律进行了改进，可提高样本数据利用率，同时加快权值收敛速度。数值仿真测试结果表明，该方法保证了预报精度，同时提高了解算速度。因此，该方法可为快速精确预报弹丸落点提供理论参考。

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ImpactPointPredictionMethodofLinearTrajectoryBasedonNeuralNetworkCompensation

ZHAO Handong1, HUANG Xin2, MA Yan1

(1. School of Mechatronics Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China 2. College of Information Science and Engineering, Northeastern University, Shenyang 110000, Chian)

Aiming at problems of the linear trajectory impact point prediction, e.g. computation of lateral velocities and angular velocities is complex and scope of application is small, an impact point prediction method of linear trajectory based on neural network compensation was proposed. First, with the assumption of linearity, the rigid body six degree of freedom trajectory equation was made to be linear trajectory model; secondly, the circular motion of the projectile was regarded as linear constant system, and the formula of the circular motion was obtained. At the same time, the derivatives of the other ballistic parameters are handled by the trapezoidal approximation method; thirdly, neural network was designed to compensate the linear trajectory impact point prediction accuracy. The numerical simulation results showed that the maximum error of the range and lateral deviation prediction method were 4 m and 7 m respectively. The impact point prediction time was about 0.024ms.

neural network; linear trajectory; impact point prediction; improved gradient descent method

2017-02-21

:赵捍东(1960—)，男，吉林长春人，博士，教授，博士生导师,研究方向：弹箭飞行与控制。E-mail: nuc_zhd@163.com。

TJ012.3

：A

：1008-1194(2017)04-0096-07