关于素数的两个著名猜想的证明

相振泉王龙（西安市第68中学，陕西西安710086）

关于素数的两个著名猜想的证明

相振泉王龙
（西安市第68中学，陕西西安710086）

文章采用《新筛法导论》一书中区间法论的思想和《九章算术》中的“法实相推”的理论，结合同余性质和数学归纳法，研究了关于素数的两个著名的猜想：当n＞1时,n2和n2+n之间最少有1个素数；当n≥1时，n2和(n+1)2之间最少有1个素数，文中对这两个定理进行了证明。

基础教育成果；开区间筛法；同余性质；数学归纳法；法实相推

这两个著名猜想出自于文［1］。文［2］是基础教育的优秀成果。笔者认为文［2］中开区间筛法论的思想和数学经典《九章算术》的结合是证明这两个猜想的关键；动态的“法实相推”和“新筛法”是数学思想的重大突破，也是数学工具的重大突破。

引理1（开区间筛法第一小定理［2］）m≥8时，在开区间（m，2m）中任意整数ai满足筛法式

引理2（带余数除法定理［3］）如果a是整数，b是正整数，那么，有唯一的整数b，r满足a=b×q+r，0≤r＜b，当且仅当r=0时，b│a。

引理3自然数阶乘定理n≥8时，n!＞(3n)3。

证明：根据数学归纳法

Ⅰ：当n=8时，8!==40320＞(3·8)3=13824引理成立。

Ⅱ：当n=k(k是自然数)假设引理成立。k!＞（3k）3…①，根据(3k+3)3=(3k)3+3(3k)2·3+3(3k)·9+27＜(3k)3(k+1)…②，由②结合①有(3k)3(k+1)＜k!(k+1)=(k+1)!…③由②③有（k+1）!＞(3(k+1))3也就是n=k+1时，

(k+1)!＞(3(k+1))3引理也成立。根据数学归纳法Ⅰ，Ⅱ知引理成立。

引理4（同余定理［4］［5］）b1，b2，b3，…，bk，a1，a2，a3…ak都是整数，k，m是正整数，当b1≡a1（modm），b2≡a2（modm），b3≡a3（modm）…bk≡ak（modm），则：b1b2b3…bk≡a1a2a3…ak（modm）。

证明：定理1，用数学归纳法：Ⅰ:列表验证归纳

定理2n≥1时，n2和(n+1)2之间最少有1个素数。

证明：Ⅰ:当n=1时，1和4之间有2和3两个素数。Ⅱ:根据定理1知n≥2时，n2和n2+n之间间最少有1个素数。又因为（n2,n2+n)⊂(n2,（n+1）2）,所以，n≥2时，n2和（n+1）2之间最少有1个素数。再结合Ⅰ，当n=1时，1和4之间有2和3两个素数。所以，当n≥1时，n2和(n+1)2之间最少有1个素数。定理2得证。

［1］胡作玄.数学考难题［M］.福州：福建科学技术出版社，2000：31-33.

［2］相振泉.新筛法导论［M］.西安:陕西人民出版社，2016:140-150.

［3］潘承洞，潘承彪.简明数论［M］.北京:北京大学出版社，1998:12，198.

［4］相振泉，王龙.莫忘基础教育成果的应用［J］.数学学习与研究，2016（9）.

［5］相振泉，王龙.新筛法及其一个例证［J］.科技展望，2016（26）.

（责任编辑：万丙晟）