三角幻方的研究

陕西省汉中市汉中中学 周小文

三角幻方的研究

陕西省汉中市汉中中学 周小文

三角幻方是从三阶幻方当中脱衍出来的，大家耳熟能详的九宫格就是三阶幻方。三阶幻方其实是正方形的，而三角幻方则不然，其本体是三角形的。最简单的三角幻方是1～6构成的三角幻方，实质就是由1～6六个数字构成的等边三角形。笔者主要研究的是1～9这九个数字构成的等边三角形。

一、三角幻方的相关定义

三角幻方的定义与三阶幻方的定义类似：将X个数字（X必须为3的倍数且最小为6）均匀填到三角形三边中，使得三条边上的数字之和刚好相等，我们就称这个三角形为三角幻方。但是这里还有一个问题，同一组数字有两种不同的填法，都能构成三角幻方，所以在命名三角幻方的时候，笔者总结出一种方式：X-Y-S-三角幻方。其中X是三角幻方的三个顶点，Y是三角幻方的幻和（三角幻方的幻和就是其边长），S是三角幻方的阶数。如图1就叫作（1，5，9）-20-四阶-三角幻方。

二、构造三角幻方的一般方法

先从最简单的三角幻方谈起。最简单的三角幻方是由1～6构成的三角幻方。在开始之前，要介绍一下研究幻方的方法，或者说1～6的数字组合为什么能够构成一个幻方。

笔者在研究三角幻方的时候用到了一种方法：先确定顶点数以及幻和，然后根据差值以及剩下的数来确定最后的三角幻方到底是哪一种。这种方法的根本是差值法。首先，我们如果确定了顶点的数字，那么这个三角幻方的幻和以及总和我们也就知道了，然后根据剩下的数字来最终确定这个三角幻方。但是，顶点上的数字也不是随便填的，顶点上的数字之和必须是3的倍数（因为所有的数字加起来要是3的倍数，而1～6里面有三个数用了两次，其余的数用了1次，所以1+2+3+4+5+6=21是3的倍数，剩下的三个数的和也必须是3的倍数），所以可以填的数字的组合只有1、2、3；1、2、6；1，3，5；1、5、6；2、3、4；2、4、6；3、4、5；4、5、6。

确定了顶点数，那么相对应的幻和也就确定了。以1、2、3为例，其幻和就是，那么1和2之间就差9-1-2=6，2和3之间就差9-2-3=4，1和3之间就差9-1-3=5。那么最后的三角幻方就是（1，2，3）-9-三阶-三角幻方（如图2所示）。

同样的，用这样的方法也就能够确定剩下的几组三角幻方是否存在了。经过验证，以（1、3、5）；（2、4、6）；（4、5、6）为顶点的三角幻方都是存在的，而其他的都不存在，具体如图3、图4、图5。

（1，3，5）-10-三阶-三角幻方

（2，4，6）-11-三阶-三角幻方 （4，5，6）-12-三角幻方

1～6这六个数字所组成的三角幻方只有这些，并且也没有太多的性质可以进行研究，所以接下来研究的是1～9这九个数字构成的三角幻方，如图6。

那么我们可以把 分成三个部分：A={1,4,7}（1～9中能被3除余1）；B={2,5,8}（1～9中被3除余2）；C={3,6,9}（1～9中能被3整除的数）。

那么我们就可以有三个取三角幻方顶点数的取法：

取法一： ,那么要么a，f，i都属于A，要么a，f，i都属于B；

取法二：a,d,g中只有一个属于C,那么其余两个数一个在A中取，一个在B中取；

共有30种取法，但30种取法里面又有多少种可以构成四阶三角幻方呢？

（1，2，3）-17-四阶-三角幻方、（1，4，7）-19-四阶-三角幻方、（2，5，8）-20-四阶-三角幻方、（2，3，7）-19-四阶-三角幻方、（3，6，9）-21-四阶-三角幻方、（4，5，6）-20-四阶-三角幻方、（7，8，9）-23-四阶-三角幻方是两种填写方式；而（1，5，9）-20-四阶-三角幻方、（3，5，7）-20-四阶-三角幻方只有一种填写方式。