三点法求最值

顾颂恩

摘 要 解决二次函数动轴定区间求解最值问题，需要对轴的位置进行多次讨论，特别是针对二次函数开口未知的情况，讨论起来非常复杂易错。本文方法参考导数极值点思想：连续函数在定区间内的最值，必在极值点或者边界点处取得。二次函数的极值点为顶点，闭区间包括两个边界点，讨论以上三点函数取值情况，便可以了解二次函数在定区间内的最大最小值情况。故称这一方法为“三点法”。

关键词 三点法 二次函数 最值

中图分类号：R969.1 文献标识码：A

例1，已知函数f（x）=ax2+（2a-1）x+1上[，2]的最大值为3，求a的值。

法一：常规讨论

解： a=0∴f（x）=-x+1

∴f（x）在[，2]的最大值为

a>0，且>，時即a∈（0，），时

f（x）max=f（）=3，解得a=（舍）

a>0且<，时

即a∈（，+∞）

此时f（x）max=f（2）=3解得a=

④a<0时，>，即a∈（-∞，-1）

f（x）max=f（）=3，解得a=（舍）

⑤a<0时，，≤即a∈[-1，0）

此时f（x）max=f（）=3解得a=

综上，a=或

诸如此类涉及多次分类讨论，其复杂性不言而喻，稍有一点出错就会导致扣分，下面使用“”“三点法”解决该题。

法二， 解假设在f（）取最大值

∴f（）=3

∴a=

对称x0=

如图，符合假设

∴a=成立。

假设在取最大值

f（2）=3

∴a=

对轴x0=0

如图，符合假设

假设在f（x0）取最大值

解得：a=，x0=2

不符合假设

综上：a=或

此方法可以迅速解出动轴空区间的问题，但它适用的条件为：已知区间为空区间 最值已知此方法成立的原理是：已知空区间和动抛物线，抛线在其空区间上，必定存在最大值与最小值，且最值的取值必为对轴横坐标或端点横坐标。

巩固练习：

已知f（x）=ax2+（2a1）x3在区间[，2]上最大值为1，求实数a的值。

答案：endprint