基于EV模型ND样本加权和的相合性

兰冲锋

(阜阳师范学院经济学院,安徽阜阳236037)

(区域物流规划与现代物流工程安徽省重点实验室,安徽阜阳236037)

基于EV模型ND样本加权和的相合性

兰冲锋

(阜阳师范学院经济学院,安徽阜阳236037)

(区域物流规划与现代物流工程安徽省重点实验室,安徽阜阳236037)

本文研究变系数EV模型的ND样本加权和的相合性问题.利用ND序列的Bernstein型不等式和截尾的方法,获得了ND样本加权和的强、弱相合性,推广了独立随机变量加权和的相合性.

变系数EV模型;ND样本;加权和;相合性

1 引言

在一维线性结构关系EV(errors-in-variables)模型[1]中,如果参数a,b是实变量t的有界连续函数a(t),b(t),t∈(0,1),(b(t)6=0),可得到下列变系数一维线性结构关系的EV模型

其中X,Y是随机变量,(ϵ,u)是测量误差,t是一实变量,可以是温度、时间等,假定t在一个闭区间上变化,可通过变换使得t∈[0,1].

目前关于变系数EV模型的讨论还处在起步阶段,但是也取得了一些成果,如欧阳[2]初步研究了这类模型,他利用加权正交回归最小二乘法给出了该模型的一维线性结构的参数估计,并得到了该估计的强、弱相合性;崔[3]给出了变系数线性EV模型参数的调整加权最小二乘估计及其渐近性质;方和胡[4]讨论了核实数据下非线性EV模型中经验似然降维推断等.而本文则研究变系数EV模型的ND样本加权和的相合性问题,为此先讨论EV模型的权函数问题.

设t0∈(0,1),要对t0处的a(t0),b(t0)进行参数估计.然而不可能在t0处作n次观测,只能在t0处附近作n次观测.设t1,t2,···,tn是[0,1]上n个设计点,满足

对每个点ti处(Y,X)作观测,得到n组观测值(Yi,ti,Xi)(i=1,2,···,n).当利用这n组观测值来估计t0处的参数a(t0),b(t0)时,此时应该注意到ti处的观测值(Yi,ti,Xi)(i= 1,2,···,n)相对于t0来说它们的重要程度并不一样,这种重要程度可用实变量ti的权函数Wni(t0)来度量.下面给出权函数的定义.

设(Yi,ti,Xi)(i=1,2,···,n)是取自母体(Y,X)的样本,t1,t2,···,tn是[0,1]上的n个设计点,t0是(0,1)内的某一个点,实变量t1,t2,···,tn的函数Wni(t0)=Wni(t0,t1,t2,···,tn) (i=1,2,···,n)称为实变量权函数(简称为权函数),如果它满足

为权函数,称之为核权函数.

在文[5]中提出了这样一个问题：在何种条件下,当n→∞时有

如果∀n≥2,X1,X2,···,Xn都是ND的,则称随机变量列{Xn,n≥1}是ND列.

文献[9]举例说明了NA序列一定是ND序列,但ND序列不一定是NA序列,这说明ND序列是比NA序列更弱、更广泛的一种随机变量序列.因此,对ND列的研究在理论和实践中都是十分有意义的.自从1993年Bozorgnia等[8]提出ND相依概念以来,已经引起了越来越多的学者的关注,也取得了许多的研究成果,例如文献[8-10]等.

2 引理

为了得出本文的主要结论,本节先给出一些相关的引理.

引理1[8]设{Xn,n≥1}是ND的,∀m≥2,A1,A2,···,Am是集合{1,2,···,n}的两两不交的非空子集.如果fi,i=1,2,···,m是对每个变元都非降(或都非升)的函数,则f1(Xj,j∈A1),f2(Xj,j∈A2),···,fm(Xj,j∈Am)仍是ND的.

引理2[8]设随机变量{Xn,n≥1}是ND列,则

3 主要结果及证明

定理1设{Y,Yi,i≥1}为同分布的ND样本序列,且存在M＞0,使得Var(Y)≤M,若对任意实变量核权函数存在正数C,使得

则有

[1]Cui H,Chen S X.Empirical likelihood conf i dence region for parameter in the errors-in-variables models[J].J.Multi.Anal.,2003,84(1)：101-115.

[2]欧阳光.变系数线性结构关系EV模型的参数估计[J].应用数学学报,2005,28(1)：73-85.

[3]崔恒建.变系数线性EV模型参数的调整加权最小二乘估计及其渐近性质[J].系统科学与数学,2007, 27(1)：82-92.

[4]方连娣,胡凤霞.核实数据下非线性EV模型中经验似然降维推断[J].数学杂志,2012,32(1)：113-120.

[5]陈希孺,王松桂.近代实用回归分析[M].南宁：广西人民出版社,1984,237-247.

[6]欧阳光.独立随机变量序列加权和的相合性[J].数学理论与应用,2005,25(1)：109-113.

[7]付艳莉,吴群英.NA同分布序列加权和的相合性[J].吉林大学学报(理学版),2010,48(1)：57-62.

[8]Bozorgnia A,Patterson R F,Taylor R L.Limit theorems for ND r.v.’s[R].Athens：University of Georgia,1993.

[9]Wu Q Y,Jiang Y Y.The strong consistency of M estimator in a linear model for negatively dependent random samples[J].Commun.Stat.：The.Meth.,2011,40(3)：467-491.

[10]Wu Q Y.Complete convergence for negatively dependent sequences of random variables[J].J.Inequ. Appl.,2010,Article ID 507293.

CONSISTENCY OF WEIGHTED SUMS FOR NEGATIVELY DEPENDENT SAMPLES BASED ON EV MODEL

LAN Chong-feng
(School of Economics,Fuyang Normal College,Fuyang 236037,China)
(Anhui Provincial Key Laboratory Regional Logistics Planning and Modern Logistics Engineering, Fuyang 236037,China)

In this paper,we discuss consistency of weighted sums for negatively dependent samples based on varying-coefficient EV model.By applying Bernstein type inequality for negatively dependent sequences and truncation methods,the strong and weak consistency of weighted sums for negatively dependent samples are obtained,which extend consistency of weighted sums for independent random variables.

varying-coefficient EV model;negatively dependent samples;weighted sums; consistency

O212.2

A

0255-7797(2017)05-1047-07

2014-01-24接收日期：2015-04-21

国家自然科学基金资助(71571174);安徽省高校自然科学研究重点项目基金资助(KJ2016A876;KJ2015A182)

兰冲锋(1981-),男,安徽阜阳,讲师,主要研究方向：概率极限理论.

2010 MR Subject Classif i cation：62D05