带复合泊松跳扩散模型的点波动率门限估计量的渐近性质

陈盈盈,蒋辉

(南京航空航天大学数学系,江苏南京210016)

带复合泊松跳扩散模型的点波动率门限估计量的渐近性质

陈盈盈,蒋辉

(南京航空航天大学数学系,江苏南京210016)

本文研究了带复合泊松跳扩散模型的点波动率门限估计量的渐近性质.利用门限方法和核函数技术,构造并证明了此模型点波动率估计量的渐近正态性.同时,应用G¨artner-Ellis定理及大偏差中的Delta方法,得到了估计量的中偏差原理.

复合泊松过程;点波动率;渐近正态性;门限方法;中偏差原理

1 引言

波动率是度量金融市场风险的常用指标,对波动率的估计和预测是近几十年来金融研究领域的重要课题之一.一个时刻点处的波动率常被称为点波动率(spot volatility),其是套头交易,期权定价,风险分析和资产组合管理等金融活动中需要考虑的重要因素.随着电子化交易的普及和信息存储技术的发展,以高精度时间“分”,“秒”为刻度来存储信息的高频环境逐步建立.高频数据可以迅速有效地捕捉市场信息,比低频数据更能反映金融市场的真实状况,为准确估计点波动率提供了途径.

关于点波动率的研究,Foster和Nelson[8]首次证明了卷样点波动率估计量的渐近正态性.但文中出现的条件和结果都十分抽象,故Andreou和Ghysels[1]对文中出现的估计量进行了进一步研究.之后,Fan和Wang[7]在资产过程轨道连续情况下,构建了点波动率的核密度估计量并得到了其渐近正态性.关于点波动率估计量的研究,亦可参见Zu和Boswijk[12].

近年来,大量金融理论和实证表明,资产价格中常包含跳,且跳的存在和类型对波动率估计量具有显著影响(夏登峰等[14]).在资产价格过程有复合泊松跳的情形下,利用Mancini[10]中门限方法,我们将Fan和Wang[7]提出的估计量进行推广和改进,即剔除带跳部分对估计量的影响.同时证明了所构造估计量的渐近正态性与中偏差原理,并给出了速率函数的精确表达式.此外,关于积分波动率估计量的大偏差与中偏差原理,可以参见Djellout等[5,6], Hui[9]及Mancini[11].

本文的结构如下：在第二章中,对模型进行介绍,构造了点波动率的门限估计量并阐述了本文的主要结论.第三章给出了主要结论的证明.

2 点波动率门限估计量及主要结论

给定概率空间(Ω,F,(F)t,P),令资产价格过程X服从跳扩散过程(见文献[3])

通过在时间点{ti=i/n,i=1,2,···,n}处对X进行的等距观测,Fan和Wang[7]构造了Γt的核密度估计量

其中I(t,bn)={i：ti∈[t-bn,t+bn]},K(x)是支集为[-1,1]的核函数,bn是带宽.若L 6=0,可以得到过程X的二次变差为

其中ΔXs=Xs-Xs-为过程X在s点的振幅.为了估计Γt,需要获得过程X的连续部分Xc：

故而最主要的问题是如何将过程X的跳与连续部分区分开来.利用Mancini[10]及Fan和Wang[7]中的思想,定义如下核估计量

定理1令过程X满足(2.1)式,且条件(A1)-(A4)成立.则对于任意的t∈[0,1],有

推论1在定理1的条件下,可以推出

假定{λn,n≥0}为一列正实数且满足

下面给出门限估计量ˆΓt的中偏差原理.

定理2令过程X满足(2.1)式,σt非随机且µt≡µ∈R.若

3 主要定理的证明

在这一节中,将给出本文主要结论的证明.

定理1的证明对任意右连左极过程Z,令ΔiZ=Zti-Zti-1.由Mancini[10]的定理3.1,当n充分大时,对每一个i=1,2,···,n,有从而可以得到

首先,由L´evy连续模定理知sup{|Wti-Wti-1|,i=1,···,n}=Op(n-1/2log1/2n),根据条件(A1)及(A2)即得

由Fan和Wang[7]中定理1,本文中定理1得证.

3.2 ˆΓt的中偏差原理

首先,来计算ˆΓt的对数矩生成函数,即对任意的θ∈R,令

Z

根据上述的分析,若要证明(3.5)式,只需证

因此结合(3.16)式即得H2=θ2λ(K)σ4t.由此引理1得证.

定理2的证明根据G¨artner-Ellis定理,定理2可以由引理1直接得到.

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ASYMPTOTIC PROPERTIES FOR SPOT VOLATILITY ESTIMATION OF DIFFUSIONS WITH COMPOUND POISSON JUMPS

CHEN Ying-ying,JIANG Hui
(Department of Mathematics,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,China)

In this paper,we study the asymptotic behaviors for the threshold spot volatility estimator of the dif f usion process with compound Poisson jumps.By the method of threshold criterion,we construct a kernel estimator for the volatility and study its asymptotic normality. Applying G¨artner-Ellis theorem,we obtain the moderate deviations.

compound Poisson process;spot volatility;asymptotic normality;threshold criterion;moderate deviations

O211.4

A

0255-7797(2017)05-1029-11

2015-12-22接收日期：2016-02-25

国家自然科学基金资助(11101210);中央高校基本科研业务费(NS2015074).

陈盈盈(1992-),女,浙江温州,硕士,主要研究方向：随机过程统计.

2010 MR Subject Classif i cation：60F10;60H07;62F12