基于高阶滑模观测器的微分滑模四旋翼无人机控制研究

魏炳翌， 闻 新

(南京航空航天大学 航天学院， 南京 210016)

基于高阶滑模观测器的微分滑模四旋翼无人机控制研究

魏炳翌， 闻 新

(南京航空航天大学 航天学院， 南京 210016)

针对四旋翼无人机鲁棒控制问题， 提出了一种基于高阶滑模观测器的内环与外环控制器设计方法。 首先， 建立了四旋翼无人机模型的运动学与动力学方程， 通过反馈线性技术将模型分解为线性部分与非线性部分。 然后， 在输入信号延迟的基础上推导了相应的滑模控制律， 由分离定理分别设计了观测器与控制器， 通过扰动识别减少需要观测的状态变量， 继而减少了测量传感器， 同时对观测器以及整个闭环系统稳定性进行了证明。 仿真验证了所提出的控制算法在提高四旋翼无人机姿态控制系统精度以及鲁棒性方面的有效性。

四旋翼无人机； 姿态控制； 滑模微分； 高阶滑模观测器

0 引 言

四旋翼平台具有空中悬停、 垂直起降和低速飞行的优势， 但是， 其动力学模型具有非线性与欠驱动的特点， 同时， 各种不确定性外部扰动的存在以及四旋翼参数不确定和动态情况难以建模， 使得其姿态控制变得异常复杂。 四旋翼无人机控制系统设计要解决的关键问题是抑制上述非线性、 不确定性和外部干扰对系统性能的影响。

反馈线性化技术是解决动态特性、 未知参数和外部扰动的有效方法[1]， 然而， 其需要所有状态变量的信息， 这一点限制了反馈线性化技术的实际应用。 对于四旋翼无人机系统， 即使可以测量所有的状态量， 但往往带有噪声。 此外， 要测量所有的状态量， 就需要更多的传感器[2]， 无形中提高了系统的成本与难度。 为了减少测量传感器， 文献[2]提出了使用一个旋转运动测量仪来达到对倾斜角度的控制和平移运动的跟踪。

针对此类问题， 本文在四旋翼无人机模型反馈线性化的基础上， 提出一种滑模状态观测器设计方法[3]。 滑模观测器被广泛应用， 因为其具有诸多优势：(1)滑模观测器对于系统未知输入具有不敏感性， 比鲁棒性更强； (2)通过将等效输出反馈至系统输入来识别未知变量； (3)状态变量实际值有限时间内收敛。 观测器设计时， 应用高阶滑模算法， 通过任意阶鲁棒微分器[4-6]设计， 确保有限时间内一阶状态变量均收敛。 在文献[7-8]中提出了二阶滑模Super-Twisting算法， 机械系统观测器仅需要对位移进行测量， 从而获知速度与不确定度。 由于四旋翼无人机模型未知输入相应阶为2或4， 所以不满足观测系统未知输入中不存在一阶变量的充要条件[9]。 为了解决以上问题， 在高阶滑模观测器中要应用高阶滑模微分技术[7]。

状态观测器不仅在系统监控和调度方面具有优势， 而且可以检测和识别动态系统故障。 观测器的设计都是基于数学模型平台， 而模型普遍不是线性化的， 并且具有未知输入。 另一方面， 数学模型平台的准确程度严重依赖已知输出[3]。

本文建立四旋翼无人机模型的运动学与动力学方程， 将模型分解为线性与非线性部分， 推导出相应的滑模控制律， 避免观测器中三阶微分状态量的出现。 在遇到外部扰动时， 通过控制器对系统进行补偿。 外环控制器设计过程中， 通过扰动的识别减少观测的状态变量。 最后， 仿真验证四旋翼无人机姿态控制在系统精度以及鲁棒性方面的作用。

1 四旋翼无人机模型及问题描述

1.1 四旋翼无人机模型

本文采用文献[10]描述的四旋翼无人机模型， 飞行时四个旋翼分为两组， 斜对角旋翼为一组， 每组旋转方向相同， 不同组旋翼旋转方向相反， 旋翼提供操纵力和扭矩， 建立面向控制的数学模型时考虑如下假设[11]：

(1) 忽略地球自转角速度， 因其相比于四旋翼的旋转运动慢得多；

(2) 假设四旋翼的质心、 重心与形心在同一点。

先定义两个框架： 地球惯性坐标系与机体自身坐标系。 在机体自身坐标系下可以更好地确定运动方程， 惯性矩阵在机体系下是不变的， 利用四旋翼对称性可以简化方程， 飞行中的测量值可以更方便地在机体坐标系中表达。

定义ζ=[ψ，θ，φ]T∈R3和ω=[p，q，r]T， 其中φ，θ，ψ是地球惯性坐标系下的偏航角、 俯仰角和滚转角；p，q，r是机体坐标系滚转、 俯仰和偏航角速度。

(1)

(2)

根据文献[10]，RΘ和ω的关系可表示为

(3)

(4)

四旋翼模型动力学方程为

(5)

(6)

由于之前的假设条件， 四旋翼模型[10]的耦合惯量为0， 惯性矩阵I=diag(Ix，Iy，Iz)，Ix，Iy，Iz为机体自身坐标系下关于x，y，z轴的转动惯量。F，Tx,Ty,Tz代表额外的力和转矩， 是由无人机的重量、 空气动力矩阵和旋翼提供的推力、 转矩组成， 具体形式如下：

(7)

本文中所有类似表达均为此含义，cφ=cosφ，cψ=cosψ，sθ=sinθ,sφ=sinφ,sψ=sinψ,cθ=cosθ,seθ=secθ。

式中：[Qx，Qy，Qz]T与[Qp，Qq，Qr]T是四旋翼无人机受到的气动力和气动力矩；g是重力常数；d是质心到旋翼之间的距离。 控制输入u1是全体旋翼推力，u2是左右旋翼推力差，u3是前后旋翼推力差，u4两组旋翼扭矩差[10]。

1.2 反馈线性化与内环控制器

针对四旋翼无人机欠驱动的特点， 运用反馈线性化技术设计内环和外环控制器。内环控制器使用全状态反馈， 对部分非线性的动态输出线性化， 本文将非线性系统分成线性部分和非线性部分， 其中非线性部分为Brunovsky标准型[12]。 控制输入u1，u2，u3，u4， 需要用新的控制输入q1，q2，q3，q4代替， 以避免在精确线性化时变换矩阵变得不可逆。 这样， 使用双积分器使u延迟[13]：

(8)

将式(6)～(7)改写为MIMO仿射非线性系统的形式：

(9)

其中，x=[x，y，z，ψ，θ，φ，u0，v0，ω0，ζ，ξ，p，q，r]T；y=[x，y，z，ψ]T；x，y，z为地球坐标系下的位置坐标；ψ，θ，φ为地球坐标系下的角度坐标。

(10)

(11)

通过计算可得det(φ(x))≠0，φ(x)可逆， 可以保证控制状态受到系统输入信号的有效控制。

(12)

系统(9)关于输出量的相对阶r1+r2+r3+r4=14与系统的阶数相等， 所以系统可以完全线性与可控化， 但由于外部环境多变， 飞行参数存在不确定性以及外部扰动等原因， 导致输入输出反馈线性化过程不精确， 这时利用式(10)控制律可以将系统解耦为线性部分和非线性扰动部分。

(13)

式中：vi，i=1, 2, 3, 4是最终控制信号， 需要设计系统外环控制器将系统控制状态的初始状态和其连续导数拟合成需要的状态轨迹。

2 控制器设计

本文采用的高阶滑模控制器[14-15]具有时间收敛的特性， 满足分离定理条件。 因此， 控制器设计可与观测器设计分开。

四旋翼无人机线性动态模型测量信号分为位置测量信号x1=[x，y，z]T与角度测量信号x5=4， 表达成状态空间模型为

(14)

(15)

其中，

(16)

(17)

式中:ci为观测器对控制量的补偿值；α1,α2为补偿系数。

2.1 线性反馈外环控制器设计

前文构造了新的输入控制信号， 需要建立一个多项式控制律来适应新的输入量v， 同时对非线性干扰进行补偿：

(18)

(19)

(20)

(21)

2.2 高阶滑模观测器设计

(22)

引理1 参数选择条件为在输入误差出现后的瞬间， 即在有限时间内， 符合如下方程：

(23)

引理2 噪声满足如下不等式：

(24)

在有限时间内建立不等式， 正常数μi，vi取决于微分参数ε：

(25)

引理3 噪声引入后的连续输入采样间隔τ>0， 在有限时间内建立不等式， 正常数μi，vi仅仅取决于微分参数τ：

(26)

系统n阶微分误差与τ成正比， 所以在n阶内要建立相同个数的滑动模型。

2.3 外环控制器输出状态重构

上节建立的滑模观测器， 事实上是一个状态估计器， 在估计状态量中只包含部分输入变量x，y，z，ψ。 因为估计状态量不包括所有的输入变量， 要想完成所有的状态输出估计， 必须考虑之前忽略的输入变量θ，φ，p，q，r， 从而需要构造新的状态变量。

在不考虑扰动情况下，θ，φ，p，q，r的观测值通过非线性系统式(9)计算得出。 计算θ和φ观测值如下[19]：

(27)

(28)

引理4[20]根据定理1中的方法， 系统(9)中的高阶滑模观测器， 假设系统状态和控制量有界且Lebesgue可测， 则通过选择合适的参数γ1=3，γ2=2.5，γ3=γ4=1.5， 通过x1，x2，x3，x4，x5，x6， 可使得状态观测量以及相应扰动在有限时间内收敛到其真实值。

综上， 新的状态观测量与定理1中x1，x2，x3，x4，x5，x6组成了系统所有的状态量， 且相应的非线性部分均可微并且趋向于0， 则整个闭环系统的稳定性得证。

3 仿真验证

以某四旋翼无人机为例进行姿态控制系统的数值仿真试验。 仿真中，m=1 kg，Ix=Iy=0.008 1 kg·m2；Iz=0.014 2 kg·m2；g=9.81 m/s2。

Qx，Qy，Qz与Qp，Qq，Qr是四旋翼无人机的气动力与气动转矩， 可以通过气动系数Ci得到：

(29)

式中：ρ为无人机所处环境大气密度；W是空气与无人机的相对速度； 气动系数Ci与空气速度和机体坐标间的夹角有关， 也与机体与旋翼的气动力有关。

为了验证高阶滑模观测器的鲁棒性， 建立以下三种状况。

Case 1： 没有外界扰动的情况，Qx，Qy，Qz，Qp，Qq，Qr均为0， 其结果如图1～2所示。

图1 3D跟踪控制仿真结果

Fig.1 Three-dimentional tracking-control simulation results

图2X轴跟踪控制仿真结果

Fig.2 Tracking-control simulatiom results ofX-axis

Case 2： 在气动力干扰条件下， 其中

(30)

发生在0 s， 20 s时， 其结果如图3～4所示。

图3 Case 2位置坐标仿真结果

图4 Case 2位置坐标微分量仿真结果

Fig.4 Coordinates microcomponent simulation results in Case 2

Case 3： 在Case 2的基础上添加剧烈随机气动力干扰， 其中Qx1是均值为0， 方差为2的随机信号；Qy1是均值为0， 方差为0.1的随机信号；Qz1=0。

(31)

图2是高阶滑模对四旋翼X轴位移跟踪控制仿真结果。 可以看出， 在没有任何干扰的情况下， 高阶滑模观测器表现出了令人满意的结果。

图3是状态变量在气动力和力矩干扰下变化情况， 在扰动发生之后有限的时间内迅速收敛， 表明了观测器的有效性。 在图4中也可以得出同样的结论， 状态变量的一阶导数在有限时间内趋于0， 并且消失， 表现出了观测器与控制器的鲁棒性。

图5在Case 3情况下， 四旋翼无人机角度坐标发生的变化， 而图6是角度微分量发生的变化。 由此可知， 在随机扰动发生以后系统可以在有限时间内收敛， 但会产生震荡， 表明高阶微分滑模处于剧烈随机扰动之中， 不能精确地跟踪系统。

图5 Case 3角度坐标仿真结果

图6 Case 3角度坐标微分量仿真结果

Fig.6 Angle coordinate microcomponent simulation results in Case 3

4 结 论

本文针对四旋翼无人机姿态控制系统设计问题， 在四旋翼无人机模型反馈线性化的基础上， 设计了一种基于高阶滑模观测器的全状态内环控制器。 外环控制器的设计过程中， 通过扰动识别减少需要观测的状态变量。 最后， 以某四旋翼无人机为例， 考虑气动力与气动力矩扰动的情况。 数值仿真表明： 本文所提出的观测器与控制器设计具有较强的鲁棒性， 且有效地提高系统精度； 添加随机扰动之后， 系统仍然可以保持一定的稳定性， 但是会产生小幅震荡， 这将是未来的研究方向。

[1] Slotine J E， Hedrick J K. Robust Input-Output Feedback Linearization[J]. International Journal of Control， 1993， 57(5): 1133-1139.

[2] Mokhtari A， Benallegue F A. Dynamic Feedback Controller of Euler Angles and Wind Parameters Estimation for a Quadrotor Unmanned Aerial Vehicle[C]∥ IEEE International Conference on Robotics and Automation， 2004: 2359-2366.

[3] Levant A. Sliding Order and Sliding Accuracy in Sliding Mode Control[J]. International Journal of Control， 1993， 58(6): 1247-1263.

[4] Levant A. Robust Exact Differentiation via Sliding Mode Technique[J]. Automatica， 1998， 34(3): 379-384.

[5] Levant A. Higher-Order Sliding Modes， Differentiation and Output-Feedback Control[J]. International Journal of Control， 2003， 76(9): 924-941.

[6] Hautus M L J. Strong Detectability and Observers[J]. Linear Algebra & Its Applications， 1983， 50(APR): 353-368.

[7] Davila J， Fridman L， Poznyak A. Observation and Identification of Mechanical Systems via Second Order Sliding Modes[J]. International Journal of Control， 2006， 79(10): 1251-1262.

[8] Davila J， Fridman L， Levant A. Second-Order Sliding-Mode Observer for Mechanical Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2005， 50(11): 1785-1789.

[9] Wang W， Gao Z. A Comparison Study of Advanced State Observer Design Techniques[C]∥ Proceedings of the IEEE American Control Conference. 2003: 4754-4759.

[10] Abdolhosseini M， Zhang Y M， Rabbath C A. An Efficient Model Predictive Control Scheme for an Unmanned Quadrotor Helicopter[J]. Journal of Intelligent & Robotic Systems， 2013， 70(1-4): 27-38.

[11] Soest W R V， Chu Q P， Mulder J A. Combined Feedback Linearization and Constrained Model Predictive Control for Entry Flight[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics， 2006， 29(2): 427-434.

[12] Gardner R B， Shadwick W F. The GS Algorithm for Exact Linearization to Brunovsky Normal Form[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 1992， 37(2): 224-230.

[13] Raumer T V， Dion J M， Dugard L， et al. Applied Nonlinear Control of an Induction Motor Using Digital Signal Processing[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 1994， 2(4): 327-335.

[14] Iqbal S， Edwards C， Bhatti A I. Robust Feedback Linearization Using Higher Order Sliding Mode Observer[C]∥2011 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference (CDC-ECC), 2011: 7968-7973.

[15] Davila J， Fridman L， Levant A. Second-Order Sliding-Mode Observer for Mechanical Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2005， 50(11): 1785-1789.

[16] Ahmed-Ali T， Lamnabhi-Lagarrigue F. Sliding Observer-Controller Design for Uncertain Triangular Nonlinear Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 1999， 44(6): 1244-1249.

[17] Slotine J J E， Hedrick J K， Misawa E A. On Sliding Observers for Nonlinear Systems[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control， 1986， 109(3): 245-252.

[18] Utkin V I. Sliding Modes in Control and Optimization[J]. Communications & Control Engineering， 1992, 189(3): 1372.

[19] Tran X T, Kang H J. Adaptive hybrid High-Order Terminal Sliding Mode Control of MIMO Uncertain Nonlinear Systems and Its Application to Robot Manipulators[J]. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing, 2015, 16(2): 255-266.

[20] Benallegue A, Mokhtari A, Fridman L. High-Order Sliding-Mode Observer for a Quadrotor UAV[J]. International Journal of Robust & Nonlinear Control, 2010, 18(4-5): 427-440.

StudyonSliding-ModeDifferentiationQuadrotorUAVBasedonHigh-OrderSliding-ModeObserver

WeiBingyi，WenXin

(CollegeAstronautics，NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics，Nanjing210016，China)

Aiming at the problem of robust control of quadrotor UAV， a sliding mode controller design method based on high order sliding-mode observer is proposed. Firstly， the kinematics and dynamics equations of the quadrotor UAV model are built， and the model by using the feedback linearization techno-logy is decomposed into linear part and nonlinear part， then， the corresponding sliding mode control law is derived on the basis of the delay of the input signal. The observer and the controller are designed separately by the separation theorem. The state variables which need to be observed are reduced by disturbance identification， then the sensors are reduced， and the stability of the whole closed loop system and the observer is proved. The simulation results show that the proposed control algorithm can improve the attitude control accuracy and robustness of the quadrotor UAV.

quadrotor UAV； attitude control； sliding-mode differentiation； high-order sliding-mode observer

10.19297/j.cnki.41-1228/tj.2017.04.005

2016-10-25

魏炳翌(1993-)， 男， 山西晋中人， 硕士研究生， 研究方向为故障诊断与容错控制。

魏炳翌， 闻新 . 基于高阶滑模观测器的微分滑模四旋翼无人机控制研究[ J]. 航空兵器， 2017( 4)： 26-32. Wei Bingyi, Wen Xin. Study on Sliding-Mode Differentiation Quadrotor UAV Based on High-Qrder Sliding-Mode Observer[ J]. Aero Weaponry, 2017( 4): 26-32.( in Chinese)

V249.122

： A

： 1673-5048(2017)04-0026-07