一石激起千层浪

于彩侠

教材中的一些具有典型性、代表性的例题和习题，往往蕴含着重要的数学思想方法。在系统复习课时，教师可以从学生思维的最近发展区出发，鼓动学生大胆设想，充分挖掘，寻找知识之间的相互联系，从而能够举一反三。既能够巩固学生的基础知识，又能培养学生的创新能力和探索精神。

北师大版选修教材2-1椭圆一节中有这样一题目：“ΔABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）和（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于，求点C的轨迹方程。”依题意求出此题的结果是：，此题是比较典型的一习题，对此，我们可以引导学生做到以下几个方面：

1 思考引申

把方程和题目中的数值进行对比。发现恰好等于，这是否为一巧合呢？题中A，B是椭圆的两个顶点，关于原点对称。若A、B是椭圆C：上任意两个关于原点的对称点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA、PB的斜率都存在，是否有kPA·kPB =呢？

2 结论应用

学生对自己推导出来的结论一定会兴奋不已，教师趁此给予相关性的题目，让学生对此结论加以应用。

例如，2013年安徽省一高三联考卷某题的第二问：已知椭圆E：，设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点O的对称点为A、关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA、PB是否互相垂直？并证明你的结论。本题条件较多若抓不住入手点，会导致计算量大、得不出结果。若课堂上，教师引领学生对上面的习题加以引申，鼓动学生自己推导结论，学生对此类问题能够举一反三，那么学生对本题就会迎刃而解。

分析：点P，A关于原点对称，点B也在椭圆上，则，由题意又易得出，则，即kPA·kPB = -1，所以很快能够判断出直线PA，PB是互相垂直的，按照此思路给予证明即可。

3 类比拓展

由椭圆中这一习题，联想到高中阶段所学的解析几何中中心对称的曲线——圆、双曲线，是否也有类似的结论呢？

3.1 圆

当a=b ≠ 0时，方程表示的曲线是圆，点A、B在圆上且关于原点对称，点P是圆上不同于A，B的点，若直线PA、PB的斜率都存在，则显然kPA·kPB的值等于-1，恰好为。

3.2 双曲线

类似于椭圆中的情况，若A，B是双曲线C：上任意两个关于原点的对称点，P是双曲线上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率都存在，则kPA·kPB = 。

3.3 综合应用

人教版教材上的一练习题（选修2-1，80页）：ΔABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）和（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于m（m ≠ 0），求点C的轨迹方程。本题很好地综合了以上三种曲线的共同问题，轨迹方程为：mx2 - y2=36m（m ≠ 0），m的范围不同，所表示的曲线也不同：

（1）m>0时，轨迹是双曲线；

（2）m = -1时，轨迹是圆；

（3）-1

对一道题加以深度地挖掘，脱离以往的死板、照本宣科的教学，沟通知识之间的联系，激发学生对知识的探究欲望，从而课堂教学才有活力和灵气，学生的思维才能得到发展，能力才能得到提高。

参考文献

[1] 赵绪昌.数学思维过程展示的教学策略[J].中国数学教育，2014（01）.

[2] 刘明.一道經典例题结论的深度挖掘[J].中国数学教育，2013（12）.

（作者单位：安徽省太和县太和中学）