高中数学解题中数形结合思想的运用探索

李天歌

摘 要：数形结合是一种重要的解题方法，在高中数学中运用数形结合的思想解题时，就是将“数”与“形”进行有机的结合，利用图形特征解决高中数学问题。本文具体介绍了高中数学解题中数形结合思想的运用，旨在运用數形结合思想提高解题效率。

关键词：高中数学解题 数形结合 运用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）07（b）-0227-02

1 运用数形结合思想解决方程式问题

在研究一元二次方程根的分布情况时，运用二次函数的图像。二次函数为：y=ax2+bx+c（a≠0），通过二次函数的图像可知，x轴的交点的横坐标是方程f（x）=0的实根，所以通过二次函数的图像就能了解方程f（x）=0的实根情况，所以对f（x）=0与y=f（x）进行转化，在运用y=f（x）的函数图像就能简单直观的解决问题。

例1：方程2a2x2+2ax+1-a2=0的两个根在（-1，1）之内，求a的值？

分析：由题意可知a2≠0，根据已知方程绘制二次函数y=2a2x2+2ax+1-a2草图（如图1所示），从图中可知，抛物线与x轴的交点在（-1，1）之内，要满足条件：（a-1）2>0、（a+1）2>0、-a2≤0，从而解的a的取值范围为a≥知a≤-，a≠±1。

利用函数图像解决方程近似解的个数问题。在高中数学中有很多不规则方程，构造两个函数，将方程的根转化为两个函数的交点问题。

例2：方程ax-2x-1=0（a>1，a≠1）有两个零点，求a的取值范围。

分析：由题意可知此方程为不规则方程，这是我们在学习中不熟悉的方程，这时就要通过变形的方式将方程转变为我们平时熟悉的方程，将ax-2x-1=0变形为ax=2x+1，这时再绘制出y=ax与y=2x+1这两个图像的草图（如图2所示），根据图2可知y=ax与y=2x+1这两个图像都经过（0，1），当a>1时两个函数还有另外一个交点，所以方程有两个零点。

通过二次函数图像求一元二次不等式的解集，在解题的过程中遇到求一元二次不等式解集的题，可以通过二次函数图像确定抛物线的开口方向，同时也能确定抛物线与X轴的交点，这样能够轻松便捷的求得一元二次不等式解集。

例3：求不等式x2-x-6≤0的解集。

分析：根据题目画出y=x2-x-6的函数图像（如图3所示），根据函数图像以及函数的开口方向可以得到不等式x2-x-6≤0的解集，x的解集为{xI-2≤x≤3}。

2 运用数形结合思想解决集合问题

在解决集合问题时可以利用韦恩图解决。韦恩图就是用圆来表示一个集合，如果两个圆相交，那么就表明这两个集合有公共元素，如果两圆相离就说明这两个集合没有公共元素，运用韦恩图能够简单直观的解决集合问题。

例4：已知全集U={xI x2<50，x ∈N}，Ln（C M）={1，6}，Mn（C UL）={2，3}，C u（MUL）={0，5}，求集合M和L？

分析：首先求得全集=U={xIx2<50，x∈N}.{0，1，2，3，4，5，6，7}。

第二步：将Ln（L uM）={1，6}，Mn（C UL）={2，3}，C u（MUL）={0，5}中的元素在韦恩图中依次定位。

第三步：定位集合中的4，7元素。

第四步：根据图4的元素位置，得集合M={2，3，4，7}，集合L={1，4，6，7}。

应用数轴解决集合的有关运算问题，以及集合与集合间的关系问题。

例5：已知集合A={xI x<-1或x≥1}，B={xI 2a

分析：由题意可知a<1，2a

运用数形结合思想解决函数值大小比较问题

在比较数值大小时，可以将数值转换为函数值进行比较，再结合函数图像直接比较数值的大小，这种方法能够节省很多的解题时间，如果在考试中比较大小的数值出现在选择题或者填空题部分时，笔者就会用这样的方法解决数值大小比较问题，十分方便快捷而且准确度很高。

例6：比较0.72.7，22.7，4.52.7的大小。

分析：根据题意将0.72.7，22.7，4.52.7这几个数值转换为函数：y=0.7x和y=2x和y=4.5x，这样就将比较数值大小问题转换为了当x=2.7时三个函数的大小。再根据函数画出函数图像（如图6所示），通过图像就能直观的判断出三个函数值的大小关系。

最后得出结论0.72.7<22.7<4.52.7。

3 结语

本文具体介绍了高中数学解题中数形结合思想的运用，首先介绍了怎样运用数形结合思想解决方程式问题，文中举了三个例子，分别说明了运用数形结合思想解决一元二次方程根的分布情况、方程近似解的个数问题、求一元二次不等式的解集。这三种问题都是高中数学方程式中经常遇到的问题。接下来介绍了怎样运用数形结合思想解决集合问题，利用数轴和韦恩图能够简单快捷的解题，通过平时的练习发现，集合问题在选择题中比较常见，所以我在解题时经常运用数轴和韦恩图进行集合求解。最后介绍了怎样运用数形结合思想解决数值大小比较问题，数值大小比较也是高中数学的重点，但是在平时的练习中发现，一些数值很难进行比较，而利用函数图像能够很便捷的解决这个问题，数值大小比较问题在选择题中出现的比较多，所以利用函数图像解决这类问题，会十分快捷。老师一直引导我们用数形结合思想解决数学问题，通过本文的分析可以发现运用数形结合思想能够方便快捷的解决数学问题，提高我们的解题效率。

参考文献

[1] 袁蓉.浅析高中数学课堂中数形结合思想在函数解题中的运用[J].新课程（下），2015（12）：128，130.

[2] 李想.数形结合思想在高中数学解题中的运用研究[J].高考：综合版，2016（3）：252-253.

[3] 贺有铭.高中数学课堂教学中数形结合思想在函数解题中的应用探究[J].高考，2016（15）：147-148.

[4] 田昀.高中数学解题中数形结合思想的思考研究[J].中华少年，2017（5）：93.

[5] 艾小玉.探析高中数学教学中数形结合思想的价值体现[J].学子（教育新理念），2013（16）：28.