《利用“辅助圆”巧解一类动态平衡问题》一文引发的思考

2017-09-12 13:38蒋金团牛云景
物理教学探讨 2017年8期
关键词:动态平衡

蒋金团++牛云景

摘 要:对《利用“辅助圆”巧解一类动态平衡问题》一文中的解题方法进行了点评,并给出新的解法与之对比。

关键词:动态平衡;拉密定理;辅助圆

中图分类号:G633.7 文献标识码:A 文章编号:1003-6148(2017)8-0036-3

《物理教学探讨》2016年第12期刊登了一篇名为《利用“辅助圆”巧解一类动态平衡问题》的文章(以下简称文献1)[1],该文主要介绍了辅助圆在三力动态平衡问题中的应用。笔者仔细拜读后,发现文中的方法并不是想象中的那么方便快捷,故在原文的基础之上作些探讨。

1 对文献1两个例题的研究

例题1 如图1所示,圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球,O为圆心。则对圆弧面的压力最小的是( )

A.a球 B.b球

C.c球 D.d球

参考答案:小球对圆弧面的压力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ,由图1可知,a球所在处的倾斜角θ(斜面与水平方向的夹角)最小,所以压力最小,故选A 。

文献1的解答:选项A是正确的答案,但真如解析所说:“小球对圆弧面的压力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ?把图中的小球放大后,分析受力如图2所示。其中FA1和FA2对应挡板在A点时圆弧面和挡板对球的支持力,从图中可以看出FA1和FA2并不是互相垂直的。显然,参考答案的解析是错误的。有什么办法解决此类问题?现取挡板在图中A、B受力分析,并把FA1和FA2,FB1和FB2各自独立合成后再来分析。

如图2所示,FB1和FB2表示挡板在B点时圆弧面和挡板对球的支持力。在图中∠FA2O'FA1与∠FB2O'FB1是相等的,即图中α、β角是相等的,故4点F■、O'、FA1、FB1共圆。去掉图中其他线条,作出4点所在圆(如图3所示)。主要挡板最低能摆放到竖直位置,即挡板对球的支持力F2不能转到水平位置。由图3可知,当挡板逆时针转动时,点O'在圆周沿FA1和FB1方向移动,其中圆弧对球的支持力不能指向4点确定的圆的直径方向,故圆弧对球的支持力不断增大,挡板对球的支持力不断减小。

点评分析:文献1与参考答案的分歧在于,参考答案把小球看成一个质点,此时小球对圆弧面的压力大小等于球的重力沿斜面向下的分力mgsinθ,从而快速确定答案。而文献1认为小球不能看成质点,适当放大之后,圆弧面对小球的支持力和挡板对小球的支持力并不垂直,因此套用正交分解的结论是错误的。显然,题目中没有说明小球可看成质点,文献1的解法确实更为严谨。但是对于中学生来说,该法费时费力效果不佳。笔者曾把文献1的解法传授给学生,经调查发现,很多学生根本理不清几对线条之间的几何关系,更谈不上巧妙构圆,因此寻找一种更便捷的方法是很有必要的。

笔者的解法:如图4所示,对小球受力分析后可知,小球受到的两个力虽然不垂直,但是当小球缓慢下滑时,两弹力之间的夹角α+β保持不变,可采用拉密定理求解。根据拉密定理,在同一平面内,当三个共点力的合力为零时,其中任一个力与其他两个力夹角正弦的比值相等,■=■,即■=常数。当小球缓慢下移时,α角减小,β角增大, F2逐渐增大,所以圆弧面对a球的支持力最小。根据牛顿第三定律,a球对圆弧面的压力最小。该法的最大好处是避开了复杂的线条关系,用公式进行定量分析,方便快捷。

例题2 如图5所示,杆BC的B端用铰链接于竖直墙上,另一端C为一定滑轮。重物G系一绳经过滑轮固定于墙上的A点,杆恰好平衡。若将绳的A端沿墙稍向下移至A'点,再使之平衡,杆重、滑轮大小及各处摩擦均可省略,则此时滑轮C的位置( )

A.在AA'之间 B.与A'点等高

C.在A'点之下 D.在A点之上

文献1的解答:引进“辅助圆”,则解答会变得一目了然。C点总在以B为圆心,BC为半径的圆周上,如图6所示。其中,BC线总是∠ACG的角平分线。根据这个特点,我们可作出各点的位置关系(如图7所示),P和P' 关于BC所在直径对称,直观可见,C的位置在A点之上,故选D。

笔者的解法:对C点受力分析,由于杆一直平衡且两段细绳的拉力相等,因此杆对C点的弹力一定处在两段细绳之间的角平分线上。如图8所示,A点下移时,两段绳之间的夹角减小,角θ跟着减小,所以杆只能往左上边摆动,滑轮的位置升高,故选D。

在分秒必争的考场上,快准狠解题是取得高分的保证。碰到难题时,只能采取化繁为简的策略,而文献1恰恰弄反了,一个比(下转第39页)(上接第37页)较简单的平衡题硬是画圆浪费时间,这种做法笔者不太赞同。

2 小 结

三力动态平衡一直是高考的热点,给学生讲透是很有必要的,但一法通吃各种情形的策略往往繁琐不堪。因此,最好的做法是分门别类,针对不同条件,灵活选用不同的方法。笔者通常给学生总结如下的三种情况:(1)三力平衡时,有一个力是恒力,还有一个力的方向不变,优先考虑图解法判断动态变化;(2)三力平衡时,有一个力是恒力,且其余兩个力之间的夹角保持不变,优先考虑拉密定理判断动态变化;(3)三力平衡时,有一个力是恒力,其余两个力的方向都在变,优先考虑三角形相似判断动态变化。

需要说明的是,不少四力动态平衡问题也可转化成三力平衡问题,上述分类还有挖掘的空间,希望感兴趣的朋友同行试之。

参考文献:

[1]彭立君.利用“辅助圆”巧解一类动态平衡问题[J].物理教学探讨,2016,34(12):46-47.

(栏目编辑 罗琬华)endprint

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