一种优化光栅系统的计算方法∗

徐挺蔡光跃

一种优化光栅系统的计算方法∗

徐挺蔡光跃

（上海电子信息职业技术学院上海201411）

在光栅系统的优化中，其目标函数往往是多自变量的复杂函数。单次或简单重复运行遗传算法程序通常无法使目标函数达到最值，函数参量的寻优无法达到优化要求。针对该问题，论文改进了遗传算法并提出一套运行该改进型遗传算法的流程。将该方法运用于优化光栅系统目标函数并求取最优函数参量，计算结果证明该方法准确有效。

计算；光栅；遗传算法；优化设计

Class NumberTP301.6

1引言

在常规光学和短波段光学的应用领域中，光栅是一种重要的分光元件，其成像性能将直接决定整个光学系统的成像质量，所以对光栅成像性能的优化十分重要。所谓优化，指的是选取光栅元器件的某几个几何参量作为优化的搜索变量，在一系列几何尺寸和光学设计要求的约束下，寻求系统的目标函数（如：像差、像平面弥散斑大小、成像性能评价函数）的极小值，由此作为系统设计的重要依据。

优化光栅系统的目标函数，无论是像差或基于像差系数、波像差系数的评价函数，其表达式均有以下特点：1）函数变量参数较多（一般为3个以上）；2）函数表达式十分冗长而复杂。对于此类函数的优化问题，传统数值优化方法如：最速下降法、拟Newton法、隧道法等对初值的依赖大且受算法本身对函数的限制条件影响，容易陷入局部极值，求得全局极值的概率不大；Monte-Garlo随机试验法、模拟退火方法等虽对函数限制要求少容易实现，但收敛较慢、效率低［1～2］。而遗传算法对函数本身构造依赖少、能较大概率求得全局最优解、计算时间相对较少，对该类函数的优化较有效［2］。

然而，遗传算法在搜索后期易出现过早收敛现象，因此国内外许多学者从编码方法、遗传操作算子、结合其它智能方法等不同方面对其进行了改进。本文在参考各种改进型遗传算法［3～4］后，针对光栅系统目标函数的实际特点，提出了一种实用的优化光栅系统的计算方法。

2算法设计

遗传算法在光栅系统优化的计算结果表明：刚开始进化时种群寻优的速度很快，但当进化代数N较大时（一般N＞300），单个种群内的个体值已趋于收敛，依靠变异生成更优个体使种群跳出局部收敛可能性极小，此时即使再成倍增大遗传代数也作用甚微且耗时过长。然而，若多个种群各自独立进化，每个种群在进化N代后都会收敛于不同的优化值。此时若各自将其它种群的最优个体引入自身种群再继续进化，则每个种群都会跳出自身的局部收敛并寻到更优值。根据这一特征，算法程序（本文定义为G程序）的设计如图1所示：

图1 算法程序（G程序）流程图

1）采用二进制编码随机初始化多个种群（本文为3个），并设定交叉进化次数为T。

2）各种群采用各自的交叉、变异概率独立进化N1代。N1取较大值，使每个种群内个体都有较高的适应度。

3）各自将其它种群的最优个体替换掉自身对应数量的最差个体，生成新的种群。

4）新种群采用各自的交叉、变异概率继续独立进化N2代，N2取较小值且若10代内最优适应值不变，自动增大变异概率。因为此时种群个体适应度都较高种群容易发生收敛。

5）判断交叉进化的循环次数是否达到T，若未达到，返回步骤3）；若达到，输出最优个体和其适应值。

算法程序的流程图如图1所示。

(3)要积极发展动力煤入洗，尤其是高硫、高灰动力煤必须全部入洗。灰分大于25%的商品煤，应就近使用。积极发展动力煤的配煤，在煤矿、港口等煤炭集散地建设动力煤配煤选煤厂。煤矿、港口等煤炭集散地要有煤炭防尘措施，如设喷淋水等，同时煤炭的运输要实现封闭运输。

在实际光栅系统的优化中，各光栅参量特别是相关角度参量的优化精度要求一般较高。所以如果想保持较大的搜索范围，若将G程序参量精度一次性设为所要求的精度，会使搜索空间过大而使搜索结果往往随机收敛在最优值附近的某个值，难以寻到最优值。所以本文提出分M阶段搜索，每阶段逐步缩小精度并搜索m次，运行过程设计如下：

1）设种群中单个个体X有n维，则设置每一维xi(i=1，2，…，n)的初始上下限为ximax和ximin，以及每阶段xi的搜索精度Δx(t)i(t=1，2，…，M)。

2）每一阶段在所规定的精度设置下运行m次G程序，结果得到m个最优个体X(j)，，其中j=1，2，…，m。

3）判断本阶段搜索是否为第M阶段，若否，转向第4）步；若是，算法结束，输出最优X。

4）确定下一阶段各参量的搜索范围，即xi下阶段的上下限ximax和ximin。返回步骤2）。另外，因采用二进制编码，为防止xi在变化时溢出其搜索范围，xi在范围内的取值个数应正好等于2ki（ki为xi转化成二进制编码的位数）。所以下阶段ximax和ximin求法如下：

ki取满足下式的最小正整数：

其中0＜ξ≤1，一般m次数越大，ξ取值可以相应越小。

算法运行过程流程如图2所示。

图2 算法运行过程流程图

3仿真实验

0和α。参考文献［5］中定义的优化光栅系统的评价函数（2），将其作为本文优化的目标函数，求函数值最小时自变量r0、r'

0和α的值。

图3 球面光栅的结构示意图

简便起见，将该光栅的工作波长λ设为单一波长400 nm。

表1 球面光栅的固定参数（未注长度参量单位：mm）

根据本文的算法设计，设该优化分2阶段（M=2）搜索所要优化参量的最优解，搜索精度Δx(it)每阶段依次设置为Δx1(1)=1，Δx(21)=1，Δx(31)=0.1; Δx1(2)=0.01，Δx(22)=0.01，Δx(32)=0.001。优化参量的初始搜索范围为r0=1～8129mm，r0'=1～8129mm，α=0～102.3°。每阶段运行G程序搜索5次（m=5）。具体G程序参量设置与优化结果如表2所示。

表2 G程序的参数设置与优化结算

所以当参量r0=493.52 mm，r'0=506.73 mm， α=6.800°时，目标函数Ω取到最小，最小值为0。我们用计算机在规定精度下，将这三个变量在搜索范围内的所有组合都列出来并计算每个组合所对应的目标函数值，然后进行比较得出最小值。经过长时间的运算，得出结果与本文实验结果一致。当然，由于本文目标函数的特殊性，Ω为平方和的相加，所以Ω最小值不可能小于0。所以本文的优化算法对Ω的最小值能寻到0时，一定是全局最值。

4结语

将变量在其搜索范围内的有所组合列出并计算每个组合所对应的目标函数值，然后进行比较得出最值也是一种计算多自变量函数的方法，并且理论上绝对准确。然而当自变量个数增多，搜索精度增大时，计算机运算的次数将成指数级上升，运算时间过长以至难以实现。

简单遗传算法与各种改进型遗传算法虽然在运算时间上较短［6～8］，但针对像光栅优化［9～11］这类自变量参数多、函数表达式复杂、搜索范围大及搜索精度高的情况，一次运行或重复的多次运行依然会使目标函数值过早收敛，寻优能力无法达到优化要求。

本文算法程序（G程序）中的多种群交叉进化，针对计算复杂函数，能有效提高遗传算法的寻优能力；分多阶段按规则逐步缩小搜索范围和精度的方法能有效提高大范围内、高精度优化函数参量的能力。该计算方法不但能运用在光栅优化上，对任意多变量复杂函数的优化与求极值都是一种有效可行的方法。

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A ComputationalMethod of Optimizing Grating System

XU Ting CAI Guangyue
（Shanghai TechnicalInstitute of Electronics&Information，Shanghai 201411）

When optimizing the grating system，its objective function is usually complex and multi-parameters.The objective function usually can not achieve the bestvalue when single or simple repeatthe GA program，the optimization for the parameters of function can not meet the optimized requirements.To cope with this question，this paper has improved the genetic algorithm and bought forward a set of process of running the improved genetic algorithm.The result turns to be accurate when this method is ap⁃plied to optimize the grating system and getthe bestoptimization parameters ofthe objective function.

computation，grating，genetic algorithm，design optimization

TP301.6

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.08.011

2017年3月17日，

2017年4月21日

徐挺，男，讲师，研究方向：汽车电子控制系统的应用开发。蔡光跃，男，讲师，硕士，研究方向：电子测试仪器和职业教育。