聚焦计算教学培养学生数学核心素养的思与行

李伟荣

2017年哈尔滨市小学数学“烛光杯”教学引领活动，在“聚焦生本课堂，落实核心素养”的大主题下，体现了“三个坚持 ”：坚持育人导向、问题导向和实践取向，着力促进了小学生数学核心素养培养的实践策略研究；坚持共享与创新，将优秀教师的个人经验升华为有益于教师群体专业成长的共享资源；坚持引领与辐射，有效地发挥了市、区两级教研部门对教学研究的高站位导向作用。活动由哈尔滨市小学数学工作室五位核心成员对人教版教材三年级下册第四单元 “两位数乘两位数”进行了整体呈现。他们立足于有机整合课程资源，整体构建了单元目标和课时目标，体现了知识的内在联系，在优化课堂教学，实现深度生本的同时，探索了运算能力的培养在课堂教学中的实施策略。

一、 把握数学本质，在诠释内涵中培养核心素养

“运算能力”是《义务教育数学课程标准》中明确提出的核心概念。在普通高中数学学科核心素养中，“数学运算”是六大核心素养之一，可见，运算能力是发展学生数学核心素养的基石。结合“两位数乘两位数”教学内容，在准确把握单元教学目标和课时目标的基础上，五位教师的引领课涵盖了常见的数学课型，分别教授了口算乘法、笔算乘法，解决问题（连除）三节新授课，一节综合练习课和一节单元整理复习课，用实实在在的教学行为诠释了培养运算能力的深刻内涵：有良好的运算能力不仅要理解算理、掌握算法，还要在遇到问题时能够找到合理简便的运算途径。因此，五位教师把学生置于课堂的核心，把运算能力的发展作为激发学生学习数学的兴趣、培养学生良好的自主学习能力的重要载体。他们整体把握运算能力的形成过程，引导学生分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，明确运算程序，使运算符合算理，合理简洁。教学中，五位教师能够有效地对运算过程进行调控，重视关于算理和算法的理性分析、批判质疑，这十分有利于学生实践创新精神的培养；他们重视引导学生对运算过程进行监控和反思，加深了学生对算理的理解，使学生不仅会判断运算正确与否，还能够主动寻找更为合理、简洁的算法，自主进行算法的优化，这也是勤于反思素养的重要体现；他们重视学生的数学表达，能够促进学生有理有据、逻辑清晰地思考问题，养成有序思考的习惯，促进学生形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

二、注重规律探索，在促进迁移中凸显思想方法

数的运算，历来是小学数学教学的重要内容，而应用数的运算规律简便计算，是数的运算教学中的重要组成部分，有助于学生数学思维能力的提高和数学思想方法的掌握，也是培养学生数感的重要手段。有些计算的算法是一致的或是相似的，在教学时就可以启发学生体会这些题目在算法上的一致性，促进计算方法的有效迁移，进而培养学生的数学素养。例如，哈尔滨市前进小学的陈继晨老师在口算乘法教学时就是把转化这一数学思想方法作为学习线索，贯穿教学的始终。在例1的教学中，教师充分引导学生利用已有的经验自主探究口算的方法，学生呈现 15+15+15=45；10×3=30，5×3=15，30+15=45；竖式三种方法后，借助多媒体教师注重引导学生进行口算方法的比较，发现共同点：虽然方法不同，但它们蕴含的道理却是相同的。

教师又适时地点拨：其实无论哪种方法，都是把我们学习的新知识变成了我们以前学过的旧知，这种方法叫作转化。转化是获取数学新知识的一个好方法，运用它可以使复杂的知识变得简单，也可以帮我们解决更多的问题。这样，无论是接下来的想一想150×3的教学，还是后续的例2一位数乘十、几百几十数乘整十数的教学，学生在体会遇到的新问题与已有知识的联系和区别中，纷纷地把新知识转化成学过的知识来解决，既激活了已有的运算经验，又及时地运用了刚刚习得的方法，达到了相互启发、取长补短、共享学习成果的目的，自主地在对口算方法的多样化的比较甄别中，进行了方法的优化。这样的教学可以提高学生的学习兴趣，又能渗透数学思想方法，培养学生的数学思维能力，为学生积累探索数学规律的活动经验提供机会。

三、 借助几何直观，在深度交流中明算理悟算法

让学生经历知识的形成过程，是培养学生数学素养的重要路径。在计算教学中体现在让学生运用已有知识和计算方法，探索新的计算方法上。在探索过程中，我们常常借助几何直观让学生经历用图式表征解释算法的过程，然后，在交流展示多种解决问题的方法，在生生、师生的深度对话中，使学生明确算理，感悟算法。这一策略，在哈尔滨市虹桥第一小学孙迎新老师的“两位数乘两位數”的笔算乘法一课的教学中尤为突出。我们一起欣赏回顾孙老师的精彩教学片段：

师：提到数学往往离不开计算，老师看到这样一句话（课件出示：凡精于计算者，必深谙其形与神）。读一读，谁知道这句话是什么意思？（简单交流后）老师也查找了一些资料，这里的“形”指的是计算的过程和方法，也就是怎么算；“神”指的是计算的意义和道理，也就是为什么这样算。这句话的意思就是说，所有精通计算的人，一定弄明白了两件事：一个是怎么算，另一个是为什么这样算。同学们想不想做一个精通于计算的人？

师：（出示例题）每套书有14本，王老师买了12套，一共买了多少本？怎样列式？得数是多少？

生：算式是14×12。得数一时算不出来。

师：我们先来估一估。

生：把12看成10，14×10=140，所以14×12≈140本。

师：这道题跟我们学过的乘法计算有什么不同？

生：这是两位数乘两位数。

师：如果把一本书用一个圆点来表示，那么一行14个圆点，就可以表示1套。12套书可以用这样的点子图来表示。借助这张点子图，你能想办法求出一共有多少本书吗？

（学生利用点子图，自主探索后教师呈现以下算法。）

生1：把12行分成两份，两行有28个，算式是14×2=28，10行有140个，算式是14×10=140，28+140=168，所以，一共有168本。endprint

出示课件：

师：借助点子图，他既说清了是怎么算的，又讲清了为什么这样算，形神兼备，真棒！掌声鼓励。

生2：把12行平均分成两份，每份6行，先用14×6=84，再用84×2=168。

生3：把12行平均分成三份，每份4行，14×4=56，56×3=168。

生3：把14分成10和4，10×12=120，4×12=48，120+48=168。

师：同学们，看这几种方法，形似不同，但他们又有共同之处，你发现了吗？

生1：得数相同。

师：是啊，方法不同，结果却一样，这叫“殊途同归”。这样一题多解，可以互相验证。

生2：他们的方法都是先分后合。

师：那老师要采访一下：为什么要先分后合呢？

生：这样就把两位数乘两位数，变成两位数乘一位数或两位数乘整十数，这是我们以前学过的知识。

师：这就是数学中的转化思想。看，点子图帮我们很好地沟通了新知与旧知之间的联系。

师：刚才还有几名同学是用列竖式的方法来做的，这是我们今天要重点研究的方法。接下来我们就一起学习如何用竖式来计算两位数乘两位数。

1.自主学习竖式写法（探究算法）。

（课件出示自学提示：可以自己思考解决，可以看书，可以借助点子图，还可以同桌商量，请教别人……把竖式计算的过程写在学习单上，并把计算的过程在点子图上表示出来。）

师：请同学们按自学提示进行自学。（学生学习，教师巡视，指两名学生进行板演：第二层积一个写“0”；一个不写“0”。）

生1：我是这样算的，先用14×2=28，在这写28；再用14×10=140，在这写14；最后28+140=168。

生2：我是这样算的，先用14×2=28，再用14×10=140，28+140=168。

师：同学们听清了吗？现在请认真观察这两种竖式的写法，你们有什么话说？

生1：一个写0，一个没写0。我认为，0可以不写，因为，8+0还得8，8直接落下来也是8，所以，可以省略不写。

师：如果不写0，那不变成14了吗？

生2：這里的4在十位上，1在百位上，还是140。

师：你的意思是，4和1的位置已经决定了它们的大小，是这样吗？真棒，在竖式计算中，数字的位置，即可决定数的大小，这也是我们学过的知识。

生3：我们在用口诀进行计算的时候，也没有出现0，所以我也认为可以不用写0。

师：谁再来介绍一下，两位数乘两位数竖式计算的方法，并把理由说清楚。有什么需要提醒大家注意的。

生3：先用14×2=28，8和个位对齐；再用14乘十位上的1等于14个10，4和十位对齐，28+140=168。这里的0，可以省略不写，同时要注意，这里的14表示14个10，也就是140。

2.合作探究竖式意义，明晰算理。

师：大家都认同这样的写法吗？好，这说明我们已经初步掌握了两位数乘两位数的竖式计算的“形”，但这样写有什么依据和道理呢？每一步计算又表示什么意义呢？请同学们拿起手中的学习单，把计算的过程在点子图上表示出来，再跟小组同学快速讨论一下。（学生活动，教师巡视，学生汇报。）

生1：我们学过14×2=28的竖式写法，也学过14×10=140的竖式写法，那么14×12，就应该先用14乘2，再用14乘10，最后把两部分的积加起来，等于168。今天的竖式正好实现了这样的想法。

生2：这里的28是14×2得到的，表示点子图中两行点子的数量，也就是两套书的本数；140是14×10得到的，表示点子图中10行点子的数量，也就是10套书的本数；最后，28+140=168，也就是所有图书的总本数。

师：（结合学生的汇报，同步演示课件。）

28指的是点子图中两行的数量，140指的是图中10行的数量，两部分合起来就是总数量。

师：同学们看，这个画面我们似乎并不陌生，它跟我们之前用的哪一种方法是一样的？

生：跟第一种算法是一样的。14×2=28，14×10=140，28+140=168。

师：那么现在我们来对比观察一下这两种算法，你有什么话想说？

生1：它们只是记录的方式不同，但表示的意义是完全一样的。

（课件出示横、竖式对应关系）。

生2：竖式把3个横式计算的过程合到了一起。

生3：竖式更加简洁。

生4：竖式计算更加便于检验，不易出错。

师：看，点子图又一次帮我们理解了竖式计算中每一步计算的意义和道理，同时，还帮我们找到了竖式和横式之间的联系。让我们不但知道了应该怎样算，而且明白了为什么这样算，使我们知道了每一步计算都是有理有据的。

这部分教学，孙老师充分让学生在汇报交流中发表自己的认识和见解，渗透“数形结合”思想。让学生反复感悟、体验，在相互补充中完善对“形”的认知，在对比分析中探究“神”的意义。在对话与发现中让学生潜移默化地意识到“形”是外在的方法，“神”是内在的道理。通过点子图，把抽象的算理和外在的算法进行勾连，促使学生有意识地审视自己的操作过程，自觉地把操作过程中所获得的认识进行整理和提升，使抽象的算理变得直观形象，使学生在明理中顺利、自然地掌握算法，促进学生思维的发展，在类比与对应思想方法并重的实施中，做到“理清法明”。审视这一过程，更可贵的是孙老师为学生提供了思考、倾听、交流的机会，有助于培养学生的数感和推理能力，学生不仅经历了解决问题和推演算法的多样化的过程，而且体会到了乘法竖式更加简洁有效，孙老师渗透了数学的理性美，培养了学生的科学精神，提高了学生学会学习的能力。endprint

四、 关注观察视角，在问题解决中提升思维品质

关于解决问题，《数学课程标准》中，第一学段的教学目标是：“能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出簡单的数学问题。获得分析问题和解决问题的一些基本方法，知道同一问题可以有不同的解决方法。体验与他人合作交流、解决问题的过程，初步学会整理解决问题的过程和结果。”本单元教材呈现的是用连乘、连除解决问题的内容，注意体现的是解决问题策略的多样化。哈尔滨市道外区顺迈小学张宏德老师执教的“解决问题（连除）”，使学生了解到同一问题可以有不同的解决方法，如何解决取决于观察思考的角度，进而促进了学生思维品质的提升。

1.收集数学信息，提出数学问题。

师：请同学们观看下面的视频，找出所有的数学信息。

生：有60人平均分为2队，每队平均分为3组。

师：面对这样的数学信息能提出什么数学问题？

生：每组有几人？（板书。）

师：我们再完整地看一遍题目，看看我们找到的数学信息是否准确。

师：通过我们的“阅读与理解”发现了3条“条件信息”，提出了1条“问题信息”。

2.数形结合，分析解答。

师：有了“阅读与理解”的基础，下面我们可以“分析与解答”了。

师：这些 “数学信息” 之间有着怎样的联系？我们又该如何解答呢？可以利用画图的方法，分析它们之间的联系，展示自己的思维过程，尝试解答这个问题。

生1：我是选择60个圆圈代表60个人，首先把60人平均分为2队，用60除以 2得到每队30人。每队再平均分为3组，用30除以3得到每组有10人。

生2：我是用一个长方形代表60人，首先把长方形平均分为2份，每份又平均分成3部分，每部分就代表一组，用60除以2得到每队30人。每队再平均分为3组，用30除以3得到每组有10人。

生3：我是用一条线段代表60人，首先把这条线段平均分为两段。一段代表一队，每一段再平均分为3部分，一部分就是一组。用60除以2得到每队30人。每队再平均分为3组，用30除以3得到每组有10人。

（生生、师生互动，板书算式。）

师：大家先来重点看这几张图，你觉得哪种图更简洁？

生：“线段图”比较简洁，圆圈图画起来比较麻烦。

（当总数量比较大时，尤其能体现“线段图”在分析问题中的优越性。）

师：“线段图”表示总数量简单，画法简洁，而且能很好地反映各个数量之间的关系，以后我们在解决问题中经常会用到。

师：大家看，画法虽然不同，但是解题思路相同。有没有不同的解题思路？

生：可以先求一共有6组，再用60除以6组，就得出每组10人。

师：新的解题思路，值得我们研究。

3.提出解决问题的策略。

师：这两种方法有什么不同吗？（学生讨论。）

生：第一种先求的是每队有几人，第二种先求的是一共多少组。

师：思考问题的角度不同，我们一起用图示来进一步研究一下。

师：60人参加表演。平均分成2队。每队平均分成3组。我们把它们称作什么信息？

生：条件信息。

师：根据前两条“条件信息”，我们可以求出每队有30人，再根据第三条“条件信息”，我们就可以求出每组有10人。这种方法我们可以把它看作是从“条件信息”出发进行解答的。（板书。）

师：看第二种方法，你是怎么想到先求“一共多少组”的呢？

生：因为想求“每组有多少人”，就得知道“一共多少组”。

师：从“问题信息”想到的。要想解决这个问题就得知道“一共多少组”和“一共多少人”。一共60人我们是知道的，根据一共2队，每队3组就能求出一共6组。最后也可以求出，每组10人。这种方法我们可以把它看作是从“问题信息”出发进行解答的。（板书。）

（利用思维导图揭示两种不同的解题策略。）

把知识转化为素养的有效途径是情境和问题。张老师在问题情境中放手让学生收集信息，提出问题，在画图情境中分析与解答。放手让学生主动探究解决问题的方法，体现解决问题策略的多样化，注重培养学生多角度观察问题、解决问题的能力。通过让学生画一画，分一分，说一说，突破了知识抽象性枯燥的难点，使学生的表述有理有据，真正理解了连除问题的本质。尤其是利用思维导图和问题串揭示因观察视角不同，表现出不同的思维方法，呈现了两种不同的解决问题思考的方式。在聚拢与比较中，抓住条件信息与条件信息之间、问题信息与条件信息之间的内在联系，在培养学生解决问题能力的同时，提升了学生的思维品质，让数学素养在情境和问题中表现，在情境和问题中转化，在情境和问题中提升。

五、 重视整理建构，在知识沟通中发展应用意识

哈尔滨市王岗小学王均杰和哈尔滨市风华小学单洁分别执教了练习课和整理复习课。两位教师十分注重引导学生对本单元知识体系的建构，又立足课型各有侧重。王老师的练习课在对淘宝购物车商品进行结算的问题情境中先复习了口算39×8、39×20、 40×30，对39×28先估算，再准确地进行笔算，通过观察口算题、估算题以及笔算题，想一想在这些算式当中，哪些算式是有联系的？并从笔算的39×28与口算前两题有联系，笔算的第一层积就是口算39×8的积，第二层积就是39×20的积，结果就是把这两道题的积加起来；估算题与口算第三题有联系，把估算题目中的数看成整十数就和口算第二组中的题一样了；在笔算时，可以先估算，这样可以知道大约是多少三个方面进行了反馈，使学生领会到笔算其实就是借助口算来完成的；在估算时把乘数估成接近它的整十数就把估算转化成了口算；而估算又可以帮助检验笔算的结果。这节课的亮点是比一比，哪层积大？

利用习题的递进性，阐释了第一层积表示几个一，第二层积表示几个十。第二层积永远比第一层积大。使学生对本单元的学习重点、难点从位值意义上有了理性的思考的提升。进一步深化了对算理的理解，发展了学生的推理能力。

单洁老师的整理复习课既注重了知识的整理归类、又注重整理方法的提炼和计算学习的知识结构化处理，实活并蒂，在互动交流中形成了特色鲜明的板书。

当然，在引领活动中也存在教学时间调控不够恰当，教与学的角色定位不够准确，课堂生成的处理不够智慧等问题，但我们也深知，研究永无止境，运算能力的培养是一个长期的过程，行动是最好的路径，我们会且行且思，在每一个运算内容的教学过程中，不断培养学生的基本运算技能，积累运算经验和优化运算思路，为有效提升学生的运算能力，培养学生发展核心素养打下坚实的基础。

编辑/魏继军endprint