固定端约束在截面法计算中的应用

马立安　何冬青　商玉梅

摘 要 分别用截面法和固定端约束的方法分析了轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲时轴的内力，说明了固定端约束求外力和截面法求内力是统一的，启发学生思考，加深对内力与外力概念的理解。

关键词 固定端约束 截面法 受力图 受力分析

中图分类号：TU311.4 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.07.028

Application of Fixed End Restraint in Sectional Method Calculation

MA Lian， HE Dongqing， SHANG Yumei

（Shengli College， China University of Petroleum， Dongying， Shandong 257061）

Abstract Separately using section method and fixed constraint analysis of axial tension and compression， torsion， bending axis force， the fixed constraint for the external force and the section method for internal force is unified， inspire students thinking， deepen the understanding of the concept of internal and external forces.

Keywords fixed end constraint； section method； force diagram； force analysis

0 序言

求约束力是理论力学静力学部分的重要研究内容，通过解除约束，用约束力替代约束，列出平衡方程组，解平衡方程组而求得约束力的大小。截面法是材料力学求解内力时常用的一种方法，主要分为截开、取出、替代、平衡四步，在杆件的轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲计算内力时都会用到。在教学过程中，将截面法与约束思想相结合，联系固定端与截面两个概念，比较固定端约束平衡方程与截面法平衡方程，发现其共同点，启发学生思考，加深对内力与外力概念的理解。

1 固定端约束

固定端约束是理论力学静力学部分的基本约束之一，其约束画法与受力图画法如图1所示。对于平面问题，其约束力可用正交分力FAx、FAy表示，约束力偶为MA，共有三个未知数。

2 轴向拉伸与压缩时求某一截面的内力的方法

（1）求某一杆件m-m截面内力（图2），先沿该截面假想将杆件切开，使其分为两部分；取其中一部分（如右段）为研究对象：以内力代替弃去部分对选取部分的作用；横截面上的内力大小可由平衡方程求得。即

（2）使用约束思想将m-m截面左段和右段的关系想象为左段为对右段的固定端约束。求内力则变成了求外力（约束力）。画受力图为图3。

可按固定端约束列平衡方程并求解：

此時可见截面法求内力实际与固定端求约束力结果是一致的。FAx与FN相差一个符号是因为在受力图中这两个力的方向相反。FAy与MA都为零，也与截面法结果一致。

3 扭转时求某一截面的内力的方法

（1）求任意横截面n-n上的内力（图4），假想沿n-n截面将轴切开，分为左右两段。可取右段为研究对象，由于右段有外力偶作用，在n-n截面上，必存在内力偶T与之平衡。即

（2）使用约束思想将n-n截面左段和右段的关系想象为左段为对右段的固定端约束。求内力则变成了求外力（约束力）。画受力图为图5。

可按固定端约束列平衡方程并求解：

此时可见固定端求约束力与截面法求内力结果是一致的。MAx与Me相差一个符号是因为在受力图中这两个力偶的方向相反。其他量均为零，也与截面法结果一致。

4 弯曲时求某一截面的内力的方法

（1）梁AB总长l，受横向力F作用（图6），相应的支座约束力FAx、FAy、FB。求距A端x处横截面m-m上的内力。由截面法，沿截面m-m将梁截开，选右段为研究对象。因外力FB垂直于梁的轴线，故在截面m-m内应有一个与界面相切的力Fs和一个在外力作用面内的力偶M与之平衡。Fs和M分别称为剪力和弯矩。剪力和弯矩的数值可由右段梁的平衡方程确定。

（2）使用约束思想将m-m截面左段和右段的关系想象为左段为对右段的固定端约束。求内力则变成了求外力（约束力）。画受力图为图7。

可按固定端约束列平衡方程求解：

此时可见固定端求约束力与截面法求内力结果是一致的。FCy与FS结果一致，因为这两个力在受力图中方向相同。MC与M相差一个符号是因为在受力图中这两个力偶的方向相反。其他量均为零，也与截面法结果一致。

5 结论

通过上面的分析发现，求内力的截面法和求外力的解除约束法在本质上一致的。内外只是一个相对的概念。在静力学选用整体为研究对象时，两个构件之间的约束力也由外力变为内力。用在教学过程中，可以启发学生思考，加深对内力与外力概念的理解。

参考文献

[1] 陈位宫.工程力学（第3版）.北京：高等教育出版社，2012.

[2] 商玉梅.应用型人才理论力学课程教学改革与实践.教育导刊，2017（2）.