通性通法：运算律教学的核心价值（二）

刘善娜

【摘 要】运算律教学的核心是对运算律本身的理解，对其“通性通法”的理解。“什么是交换律”“交换律为什么存在”“如何借助不完全归纳法得出交换律却又体验到科学性和严密性”，这些都是需要明晰的核心问题。数学上的定义和证明对小学生而言比较抽象，需要融合学生已有知识经验将“通性通法”予以直观、简洁、正确的呈现，再结合学情进行预测，最终形成关注运算律“通性通法”的教学方案，以教学片段的形式呈现。

【关键词】交换律 通性通法 价值

基本运算律被称为“数与代数”领域的“通性通法”。在《通性通法：运算律教学的核心价值（一）——“交换律”一课的教学思考》一文中，已经阐述了交换律在数学上的证明及与之相契合的学生能被激活的经验、能理解的直观，以及如何感受归纳推理过程的科学性和严密性。但这些思考最终需要转化成教学行为，落实到课堂教学之中。

学生早就会“用”加法交换律，但是却不知道这个规律为何“有”，如何“说”。要把他们明白的东西给“引”出来，到底是给予算式观察最为便捷，还是直接从字面链接已有经验空间更大？基于加法结合律，学生自己能联想到什么？他们能否自发激活相关经验？这就需要进行学情预测。

一、学情预测

前测1：经由计算感知规律，然后用“如果……那么……”描述发现。

（1）算了这些式子的和，你发现了怎样的规律？你能不能用自己的话详细地描述一下，可以试试用上“如果……就……”来写哦。

（2）左右两边的式子能用哪个符号连接起来？试着选一个写写。这样的长长的等式你能自己写两个吗？

（3）这样的长长的等式写得完吗？如果写不完，你能想出一个式子来代表它们吗？

（4）加法中有这样的规律，能让你联想到什么？你能举例说明吗？

（5）这样的式子，这样的规律，请你细细想想，你以前有遇见过吗？学什么知识或者做什么题目的时候遇见过？

前测2：直接从“加法交换律”的名称展开思考，表述猜想。

1.亲爱的同学，你听说过“加法交换律”吗？你猜猜“它”是怎样的？可以举例说明，可以用文字描述。

2.在我们学过的加减乘除四则运算中，除了有加法交换律，还有乘法交换律，但是没有减法交换律和除法交换律。请你猜一猜，想一想，乘法交换律是怎样的？可以怎样表示？为什么减法和除法中没有交换律。请试着举例说明或用文字描述。

两次前测可知：学生观察等式直接发现再枚举验证的学习路径更有效；站在加法交换律上展开联想，最好能给学生一定的问题指向；要促成经验的对接，需要为学生提供清晰的素材。

二、教学片段

对交换律通性通法的研究，对学情的预测，究竟要怎么转化为教学行为？下面通过教学片段予以呈现。

【片段一】“反例”跟进

课始，直接从4个式子求和切入。让学生照样子写式子——“以例规例”写大量的“这样的式子”，任意写，不计时间。学生借由“枚举法”初识交换律。当学生自发认识到这样的加法等式写也写不完，发现“交换两个加数的位置，和不变”之后，就要利用“反例”促成较为科学的认知。

师：难道任意两个数相加，交换加数的位置，和都不变？一个例外的也没有？我们是不是应该检验一下？想什么办法来检验？

生：找找看有没有和变了的式子。

师：找反例，好办法。如果找到一个例外，这个规律就不成立了。

生：76+358与358+76，好像不相等。

师：我们算一算。（教师板书两个竖式，师生一起求出和都是434）。例子举得很好，交换了两个加数的位置也是和不变。

生：老师，3.8+2.1，小数行不行？

师：小数加法还没学过，你们会算吗？（教师板书两个竖式）

生：我会算。3.8+2.1=5.9（教师完成一个竖式），2.1+3.8=5.9（教师完成另一个竖式）。和也是相等的。

生：老師，这就是加法的验算，算出来结果肯定是相等的。

师：哦，原来我们以前加法验算也是利用了交换加数的位置和不变的规律啊！怪不得我们找不到反例。那么，像这样的规律，你们知道它叫什么吗？

生：交换律。

生：加法交换律。

师：非常厉害，它叫加法交换律。这个加法交换律啊，在数学上还可以用一个式子把它表示出来，你知道吗？

生：a+b=b+a。

师：在a+b中，a和b分别表示什么？

生：表示两个加数。

师：它和b+a是相等的，可以吗？

生：可以。

学生找不到反例，弥补了不完全归纳法科学性上的不足，而教师将学生找的“反例”摆成竖式笔算，呈现了他们熟悉的加法验算过程，进一步认识到加法交换律存在的合理性。

[片段二]“数”“放”求源

师：咱们找到了很多符合规律的式子，却找不出一个不符合的式子，所以就确认了加法交换律和乘法交换律的存在，又在减法和除法中找到了很多不符合的式子，所以否认了减法交换律和除法交换律的存在。但是，你们能否告诉我，为什么加法、乘法会有交换律存在呢？任意两个数a和b相加，“和”为什么是不变的呢？

生：因为两个加数没有变啊。

生：因为数的大小不变。

生：我反驳。减法里面，被减数和减数的大小也不变的啊，怎么就不能交换位置了呢？

生：它们是先加6再加7，另一个是先加7再加6，它们的结果是相同的，只是位置变了。

师：有些意思了，“先加再加”里面有学问。我们从很多例子中发现了任意两个数相加交换位置和不变，但是为什么会和不变的道理，咱们也得明白。老师给大家拍了一个小视频，看看有没有什么启发。（播放视频：一个孩子数小木圈，先数6个再数7个，共13个。交换顺序先数7个再数6个，也是13个）你在录像中看到了什么？你有什么启发？

生：因为它们的总个数不变。

生：他是先数了6个，接着数了7个，然后先数了7个，再数6个，总共就是13个。

生：总共13个，随便你先数哪部分，接着往下数，最后数出来一共就是13个。

师：“接着往下数”，大家刚认识两个数相加的时候，就是这么做的呢。（课件呈现人教版一年级“加法”图）先数出a个，接着往下数b个，和先数出——

生：b个，再数出a个，总共的个数不变。

生：就是两部分要合起来。

师：如果两边之和要相等，就得怎么摆放？（课件出示天平图）

生：左边已经有a了，要放一个b，右边已经有b了，要加一个a。只有a和b合起来才会等于b和a合起来。

师：看来加法交换律的道理明白了，那么乘法交换律的道理，你们能自己写一写、画一画、想一想吗？独立思考之后可以同桌交流。

生：我觉得乘法和加法是一样的。比如有6个圈，2×3就是这样数（黑板上横着圈画），3×2就是这样数（竖着圈画），总共还是6个。

师：横着数，竖着数，总数的确一样。我还听到他说乘法和加法是“一样的”，乘法和加法有联系吗？

生：乘法就是连加，2×3是2+2+2，3×2也表示2+2+2，所以2×3=3×2。

生：2×3是2+2+2，3×2我觉得应该表示为3+3。刚才加法里说了，先数一部分，接着再数一部分，和不会变，所以2×3=3×2。

生：反正都会合起来总共有6个。

学生有能力从大量式子中归纳出交换律，却没有办法说清楚道理。数木圈的小视频，学生观察到左边数完“接着数”右边得到的结果，和右边数完“接着数”左边得到的结果是一样的，学生也能通过天平图表述“只有a和b合起来才会等于b和a合起来”。明白易懂的两个直观，结合加法意义的回顾，从本源上让学生感受到加法交换律的成立。而乘法交换律成立的理由，就放手让学生来表述。学生经由之前积累的经验会选择画圆点图来解释乘法交换律，并在教师追问下打通了加法交换律和乘法交换律之间的关联。

【片段三】回顾“遇见”

师：看看在我们以前学过的数学知识里面，你能看到它的影子吗？你从哪儿能看见？

生：摆一摆里面可以左边+右边，也可以右边+左边，得数不会变。一句口诀，能说两个乘法式子，答案都是15。加法乘法验算里面也有交换律。

师：那么，在我们生活中遇到的事里（课件呈现下图），你能看到交换律吗？信息量比较大，咱们有序地一个一个看，先看第一个材料。

生：明明家到超市，然后再到学校，一共是770米，然后学校到超市，然后再到明明家，它的距离也是770米。

生：平时上学也是这样，上学的距离和放学的距离是一样的，这里有加法交换律。

生：第二个材料是很多把椅子，4×6等于24把，然后6×4也是24把。

师：你怎么看到4×6和6×4的呢？

生：横着一行一行看，就是6×4，然后竖着一列列看，就是4×6。数出来都是24把。

师：数数椅子也能发现乘法交换律。

生：第三个材料，401班的男生18人和401班的女生20人，人数交换一下，它都是38名。18+20=20+18。

师：3号材料，信息量比较大，她能从那么多的信息里面选择想要的信息来表达交换律，掌声送给她。数完男生人数接着数女生人数，或者数完女生人数接着数男生人数，401班的总人数不变。

生：我还可以先数402班的男生人数，再数402班的女生人数，然后相反，总人数不变。19+16=16+19。

生：还有401班的男生和402班的男生加起来的人数也不变，18+19=19+18。

生：还有401班的女生和402班的女生加起来的人数也不变，20+16=16+20。

師：还能有再大胆一点算法吗？

生：就是401班的男女生和402班的男女生总人数不变。18+20+19+16=20+18+16+19。

师：我们按这个顺序依次数人数，两班的总人数肯定是不变的，但我们刚才不是一直在说，是两个数相加的吗？（课件出示：加法交换律和乘法交换律的概念）怎么这会儿四个数也成了？

生：因为这四个数，其中的男生和女生是401班的，另外一部分男生和女生是402班的，所以说还是两个数。

师：请你一个班一个班地看，四个数在她眼里就成了两个数，很有道理。四个数有点儿复杂，老师举一个简单的例子，咱们来研究一下。看，假如是这样的三个数，左边等于几？（9）右边等于（9），2+3+4=3+4+2。加法交换律说，两个数相加，这里有三个数相加，它可以怎么交换呢？怎么交换一下就会从左边变成右边？

生：先2和3交换，变成3+2+4，再2和4交换，就得到了3+4+2。

师：也就是说，这三个数相加的时候，咱们用了几次交换律啊？

生：2次。

师：那么像18+20+19+16=20+18+16+19这样四个数相加，可能用的次数就（更多了）。我们数学喜欢用最简单的方式来描述，只说“两个数相加”就能表达清楚了。以后数可能会越来越多，我们在运算的时候，可能不仅仅会用到交换律，还会用到更多的运算律。

三、教学思考

验算、口诀这些数学化的“交换”体验，让学生进一步了解了交换律，而通过具体情境的观察，提炼蕴藏其中的交换律，则能进一步深化学生对交换律的认知。上学路线（线段图）、座椅摆放（实物图）、人数（条形图）丰富了交换律的具体表征，其中的条形统计图里放入了4个信息，学生可以寻找到多个运用交换律的等式，并进一步理解了交换律为何都表述为“两个数相加（乘）”而不是“几个数相加（乘）”。

在上述教学片段中，学生通过大量举例归纳得到了交换律，又理解了交换律为什么存在，并在与以往的经验沟通中进一步理解了交换律。除此之外，在交换律的教学中，教师还要关注以下几个细节。

（一）强化“推想”

当学生从大量式子中发现“两个数相加，交换加数的位置，和不变”的时候，要引导学生试着追问自己“只有相加的时候，有这样的规律吗”，猜想试试。落实到练习中，比如判断下面的等式是否运用了交换律，（1）82+0 = 0+82 ；（2）75×8=8×75；（3）16×4=8×8 ；（4）48+73=37+84。要让学生根据对交换律本身的理解来回答自己判断的理由，这样的过程，才是检验交换律是否掌握的过程。

（二）对比学法

加法交换律的学习路径和乘法交換律是不同的。加法交换律是从例子中归纳发现结论，是一种合情推理，而乘法交换律是在加法交换律基础上展开联想，先猜测结论，再去验证，这是类比推理的过程。因此，有必要在认识加法交换律和乘法交换律后，让学生回头看一看，“对照板书，回顾一下，刚才我们探寻加法交换律和探寻乘法交换律的过程有什么不一样吗？”通过对比，感悟到不同的学习方法，认识到“有的时候，我们是从很多例子里面发现新的结论，有的时候，我们大胆地去猜想，然后举例子将它验证”。

（三）理清路径

借助板书式的思维导图，将学生的整个学习路径直观呈现，能让学生进一步感悟到定律探究的方法和策略，为今后的运算律学习积累经验。

只有立足于“通性通法”的运算律教学，才能凸显运算律的核心价值，才能让学生在运算律的学习过程中经历探究的过程，明晰数学规律的客观存在性，感悟探究过程的科学性。

参考文献：

[1] 余元希.数的概念浅说[D].上海：上海教育出版社，1980.

[2]张奠宙，戎松魁.正本清源，通过“数数”活动理解运算律——关于加法、乘法交换律的讨论[J].教学月刊·小学版（数学），2015（6）.

[3]姜荣富.追问知识意义与核心价值——对运算律的理解维度[J].小学教学，2012（5）.

[4]姜荣富.根据知识的特点设计教学——对运算律教学的建议[J].小学教学，2012（06）.

[5]季国栋.简单且深刻——“交换律”教学实录[J].小学教学，2015（02）.

[6]南欲晓.从理解的角度思考运算定律学习中的困难及其对策[J].教学月刊·小学版（数学），2017（1～2）.

（浙江省宁波市奉化区实验小学 315500）