“非对等信息”学习材料：促进数学思考不可或缺的有效载体

邵珠利

【摘 要】在日常教学中，教师所呈现给学生的都是“对等信息”的学习材料，它是学生数学学习必不可少的有效载体，无论是教师，还是学生，都已经习惯并熟悉了这样的学习材料。而“非对等信息”学习材料设计与使用较少，其实“非对等信息”学习材料能够打破学生习以为常对于“对等信息”学习材料思考的惯性，它更多指向“开放”与“多元”的数学思考，也是促进学生数学思考不可或缺的有效载体。“非对等信息”学习材料的设计与使用策略可以从变观察为探索、变应用为设计、变发现为建构三个方面着手。

【关键词】非对等信息 学习材料 策略

在日常教学中，我们呈现给学生的都是“对等信息”的学习材料，它是学生数学学习必不可少的有效载体，无论是教师，还是学生，都已经习惯并熟悉了这样的学习材料。而“非对等信息”学习材料设计与使用较少，其实“非对等信息”学习材料能够打破学生习以为常对于“对等信息”学习材料思考的惯性，它更多指向“开放”与“多元”的数学思考，也是促进学生数学思考不可或缺的有效载体。

一、“非对等信息”学习材料的内涵及意义

（一）“非对等信息”学习材料的内涵

“非对等信息”学习材料是相对“对等信息”学习材料而提出的。“对等信息”学习材料是一次性提供给学生完整的条件信息，并且题目要求及所求问题十分明确，学生可以根据所提供的完整条件信息，按照明确的要求运用所学数学知识进行运算或解决问题，即“条件信息”与“问题解答”之间是对等的。而“非对等信息”学习材料则是提供给学生不完整的条件信息或提供给学生开放的条件信息或题目要求不明确等，制造出“条件信息”与“问题解答”之間不对等的现象，从而使学生在解答问题时所运用的策略、方法或所得到的答案更加“开放”与“多元”。

（二）“非对等信息”学习材料的意义

由于受传统数学教学的影响，在日常教学中，我们所呈现给学生的几乎都是“对等信息”的学习材料，无论是教师，还是学生，都已经习惯并熟悉了这样的学习材料，而“非对等信息”学习材料设计与使用寥寥无几。其实“非对等信息”学习材料能够打破学生习以为常对于“对等信息”学习材料思考的惯性，它更多指向“开放”与“多元”。因此两类学习材料在学生数学学习过程中均不可或缺，相得益彰。当学生面对“非对等信息”学习材料时需要综合所学知识才能做出分析与判断，因此要求学生具有更强的思考能力，从某种意义上说，“非对等信息”学习材料更能有效促进学生数学思考。

二、“非对等信息”学习材料的设计与使用策略

既然“非对等信息”学习材料能够打破学生习以为常对于“对等信息”学习材料思考的惯性，它更多指向“开放”与“多元”，那么在日常教学中如何有效设计与使用呢？下面结合几个案例进行阐述。

（一）变观察为探索：让学生从被动观察者变为主动探索者

直接呈现“对等信息”学习材料，引导学生发现学习材料中所蕴含的数学规律或数学知识，这是日常教学中经常采用的方式。其实在教学中也可以只呈现部分学习材料，在此基础上引导学生探索所呈现的部分学习材料与所要解答问题之间的关联，促进学生自主探究。

【案例1】五（下）第一单元“观察物体（三）”中的习题。

笔者认为直接一次性呈现如上题所示的“对等信息”学习材料，让学生通过观察然后动手摆出这个图形，对于学生积累观察物体的经验以及空间观念的培养不够落地，于是笔者对原学习材料进行如下设计使用：

【环节1】只出示从上面看到的图形（图1），思考：搭成这样的图形最少（ ）块。想好后动手拼摆。

【环节2】在环节1的基础上再出示从正面看到的图形（图2），思考：搭成这样的图形最少（ ）块。再动手操作、验证。

【环节3】最后在以上两个环节的基础上出示从左面看到的图形（图3），思考：搭成这个图形最少（ ）块。再动手操作、验证。

以上三个环节将原本“对等信息”的学习材料肢解为“非对等信息”的学习材料，在环节1与环节2中学生无法得到准确答案，因为答案多元，只有在环节1、环节2的基础上，再开展环节3的活动才能做出准确判断。通过三个相关环节的操作活动，促使学生将想的过程与摆的过程相结合，虽提高了操作难度，但对学生空间观念的培养起到了积极的促进作用。

观察是对“对等信息”学习材料的静态分析，可以培养学生观察现象、发现规律以及合情推理等能力，但由于观察更多的是静态的过程，所以不利于促进学生深入思考与有效探索。将“对等信息”学习材料转换成“非对等信息”学习材料后，学生要对这些“非对等信息”学习材料进行分析与判断，在此基础上还要进一步探索“非对等信息”学习材料与所研究问题之间的关联，它所关注的是学生的过程性探索，而不仅仅是思考的结果。

（二）变应用为设计：让学生从单纯“做题者”转变为习题开发“参与者”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学思考才是数学教学中最有价值的行为。题型模仿、类型强化、技能训练在教学中也需要去做，但是这些训练如果离开了数学思考而仅是一种机械训练，那就失去了意义。因此，数学思考是学生进行数学学习的核心，是数学课堂教学中最需要做的事。从某种意义上说，“非对等信息”学习材料更能有效促进学生进行数学思考。

1.将指令性要求转变为自主性选择，让学生自主决断

【案例2】简便计算（人教版四年级下册“运算定律”中学习了“乘法分配律”后的练习题）。

用乘法分配律计算下面各题。

103×12 20×55 24×205

【案例剖析】原习题是“对等信息”的学习材料，题目要求明确：用乘法分配律进行计算。对于学生而言，解答此题方向非常明确，只要考虑如何将这些习题转换成如乘法分配律的形式，进而计算即可。虽然在刚刚学习了乘法分配律后安排这样的练习对于学生理解和掌握乘法分配律大有帮助，但类似这样的“对等信息”学习材料易导致学生模仿与记忆，看似为学生指明了简便计算的方向，实则大大限制了他们的思维空间。

基于以上思考，笔者对习题进行如下设计。这样改编以后，学生失去了明确的计算方向，要自己进行判断，选择合适的计算方法。

计算下面各题，怎样简便就怎样算。

①103×12 ②20×55 ③24×205

因为刚刚学习了乘法运算定律，所以学生普遍采用了乘法结合律或乘法分配律进行简算。

从学生的做法可以看出，因为将指令性要求变成了自主性选择，所以学生的思维更开阔了，他们会根据自己的理解选择合适的方法解题，运用乘法运算定律进行简算的过程中学生不但更加深入地理解了乘法的运算定律，而且在比较各位同学不同方法的过程中进一步明晰了乘法运算定律的异同。

指令性要求便于学生在明确的要求下实施有效操作，但缺点是容易框住学生思维，而自主性选择把主动权还给了学生，他们完全可以根据自己的理解创造性地解决问题。

2.将解答习题过程转变为研讨方案与策划设计的过程，让学生成为主动参与者

【案例3】组合图形的面积计算（人教版五年级上册“多边形的面积”单元中的练习题）。

【案例剖析】该习题是典型的“对等信息”学习材料。如果仅仅是为了计算图形的面积，学生根据题中所给数据可以直接进行计算。主要有三种方法：

方法一：纵向分割得长方形+梯形，（5+10）×（12-6）÷2+5×6

方法二：横向分割得长方形+三角形，5×12+（12-6）×（10-5）÷2

方法三：补全相减得长方形-梯形，12×10-（6+12）×（10-5）÷2

应该说如果学生能够考虑到这三种方法并正确解答，说明学生已经对多边形面积计算掌握得非常好了。但笔者认为，此“对等信息”学习材料虽然能够考察学生空间观念，但因为提供了全部数据信息，所以最终落脚点还是应用公式计算，而不是解题方法的策划。

基于以上分析，笔者进行了改编（图4），不提供任何数据信息，只呈现图形。

【话题1】要计算该图形面积，你有几种方案？分别涉及哪些平面图形的面积计算？

【话题2】如果要计算出这个图形的面积，你认为至少需要几个数据？请你标出需要的数据并依此进行计算。

改编后的习题就是笔者文中讲到的“非对等信息”学习材料。对于“话题1”不需要学生进行具体计算，重点关注的是学生解决问题的思路与方法，是策划解题方案的过程。同时在策划解题方案的过程中，也有效地复习回顾了相关平面图形的面积计算问题。

“话题2”则进一步把计算面积的主动权还给了学生。但想要计算出这个图形的面积也非易事，学生要有较强的整体观察与思考能力，相当于要自己设计所需数据，再据此进行计算，全方位促进了学生的数学思考。

提供“对等信息”的学习材料，让学生解答相应习题，学生更多处于操练层面，一味呈现这种形式的学习材料，容易导致学生形成思维定势，不利于学生从数学知识的结构上对数学习题本原进行思考。而“非对等信息”学习材料有利于打破学生形成的思维定势，开拓学生视野，让学生不再充当做题的机器，而让学生成为习题设计与开发的主动参与者。

（三）变发现为建构：让学生从被动接受者变为主动建构者

【案例4】轴对称（人教版四年级下册第七单元第82页至第83页“图形的运动”第一课时）。

【教学方案1】

首先呈现“对等信息”学习材料（例1），引导学生观察发现：对称点到对称轴的距离相等、对称点的连线与对称轴互相垂直两条重要性质。

然后利用得到的两条重要性质完成例2及相应练习。

【教学方案2】

呈现“非对等信息”学习材料（小树的一半）。

首先独立补全小树的另一半，学生在补全另一半的過程中，不自觉地运用了对称点到对称轴距离相等以及对称点的连线与对称轴互相垂直这两条重要性质，而此时学生对这两条性质的认知只不过是一种无意识的状态，并不十分清晰。

然后采用小组合作讨论的形式，说说各自是怎样补全另一半的，在这个讨论、交流的过程中，逐渐清晰了对对称点到对称轴距离相等以及对称点的连线与对称轴互相垂直这两条重要性质的认知。

最后利用这两条重要性质完成相应练习。

【案例剖析】

教学方案1遵循观察—发现—应用的教学思路，学生主体地位不明显，学生的思维处于浅层次水平；而教学方案2遵循尝试—探究—发现—应用的教学思路，体现了“做中学”思想，学生是主动的建构者，学生的思维位于较高层次水平。

“对等信息”学习材料往往会削弱学生的主体地位，学生可以通过直观观察、直接运用所学知识便能比较容易地解决问题；而“非对等信息”学习材料则会大大加强学生的主体地位，这样的学习材料会使学生更主动地思考学习材料的内在结构，可以有效促进学生进行数学思考，提升学生的数学素养。

三、“非对等信息”学习材料使用时需要注意的问题

“非对等信息”学习材料是学生数学学习材料中不可或缺的重要部分，但因小学生的认知特点及小学数学知识的结构特点，所以在日常教学中设计与使用“非对等信息”学习材料时需要注意以下三点问题：

1.所提供给学生的学习材料应以“对等信息”学习材料为主，以“非对等信息”学习材料为辅，二者相辅相成、相得益彰。

2.在提供“非对等信息”学习材料时，应特别加强对学困生的指导与帮助。

3.针对“非对等信息”学习材料的组织学习，要特别强调学生的自主探究，发挥学生的主观能动性，突出学生的主体地位。

“非对等信息”学习材料有利于打破学生习以为常对于“对等信息”学习材料思考的惯性，它更加指向“开放”与“多元”的数学思考，与“对等信息”学习材料相辅相成、相得益彰，是促进学生数学思考不可或缺的有效载体。那么，就让我们在日常教学中重视设计与使用“非对等信息”学习材料吧！

（浙江省杭州市拱墅区大关小学 310011）