用代数方法探讨四圆相交区域填充数字问题

石业娇, 孟宪涛

(1. 大连海洋大学 应用技术学院 辽宁 大连 116300; 2. 沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

理论与应用研究

用代数方法探讨四圆相交区域填充数字问题

石业娇1, 孟宪涛2

(1. 大连海洋大学 应用技术学院 辽宁 大连 116300; 2. 沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

受在三圆相交区域中填充数字问题以及用代数方法求解幻方问题的启发,设计了利用线性代数方法在四圆相交区域中填充数字问题。首先,建立了填充问题的约束方程组,根据需要将约束方程组变形为5种形式,即所谓5个约束条件;然后,对约束条件进行讨论,得出四圆重叠区域中心位置的数与两圆重叠区域的4个数字之和的奇偶性,以及三圆重叠区域的4个数字之和与只属于一个圆区域的4个数字之和的奇偶性,以约束条件为基础,兼顾数字的对称性与互补性,采用试验的方法,考虑3种情况下的不同取值,得到相应问题的15个解;最后,给出了相对于每一个解,每一个圆中所包含的7个数字之和的上限与下限,给出相应的证明。

四圆相交区域; 填充数字; 约束方程组; 求解

在几个圆构成的相交区域中填充数字问题与幻方问题颇为类似,幻方为中国人首创,这一点在汉朝的《数术记遗》中有明确的记载。我国宋朝数学家杨辉对幻方的研究颇有建树,他的研究往往是针对于某阶幻方直接给出构造方法,即直接给出幻方的解,虽然巧妙致极,但总有一点不知其所以然的感觉。笔者曾用线性代数的方法研究了三阶幻方的所有解。受幻方问题的启发,本文则尝试利用线性代数方法探讨在四个圆相交区域里填充数字问题。

1 问题描述

四圆相交,围成13个区域如图1。现将1,2,…,13这13个数字填在图1中,每一个区域里一个数字,要求各个圆中所包含的7个数字之和相等。此问题虽然与三圆相交区域填充数字类似,却比解决三圆相交区域填充数字问题困难许多。因为图中的变数为13个,根据问题描述要求可能确定的约束方程的个数却远少于变量的个数。因此问题必须在所建立的约束条件基础上结合试验方法加以解决。

图1 四圆相交填充Fig.1 Filling method of four circles intersection

2 约束条件

记S={a1,a2,…,a13}={1,2,…,13}。设图1的填法满足问题要求,设每个圆中所包含的7个数字之和为M,即

(1)

得到第一个约束条件

(2)

从式(2)推得

(3)

知a1+a3+a10+a12+a13与a2+a4+a9+a11+a13分别为奇数。由a1,a3,a10,a12,a13与a2,a4,a9,a11,a13分别为图1中过a13的直线上的5个数,得第2个约束条件为这5个数之和为奇数。

由式(1)可得

(4)

代入式(2)中第1式便得到

(5)

观察式(5)可知,当a13为奇数时,3a13+91为偶数,于是a5+a6+a7+a8为偶数;当a13为偶数时,3a13+91为奇数,于是a5+a6+a7+a8为奇数。注意到a5+a6+a7+a8所处的位置是图1中两圆重叠的区域,便得到第3个约束条件为“图1中四圆重叠区域即中心位置的数a13与图1中处在两圆重叠区域的4个数字之和a5+a6+a7+a8的奇偶性相反”。

由式(4)有

(6)

可见当a1+a2+a3+a4为奇数时,a9+a10+a11+a12为奇数;当a1+a2+a3+a4为偶数时,a9+a10+a11+a12为偶数,有第4个约束条件为“图1中三圆重叠区域的四数字之和与只属于1个圆区域的4个数字之和具有相同的奇偶性”。

对方程组(2)的增广矩阵A进行初等变换,得式(2)的同解方程组

(7)

方程组(7)即是第5个约束条件。

应该注意的是,以上得到的5个约束条件并不是相互“独立”的,如式(2)与式(7)是同解方程组,于是约束条件1与约束条件5实际上是同一个约束条件。同理约束条件2、3与约束条件4也属于约束条件一变形。因而这5个约束条件实际就是约束条件1(即式(2))的5种不同的表现形态。之所以如此,是为了在以下的对图1的解法探讨中便于从不同侧面加以约束,更方便求解。

3 求解举例

满足方程组(7)的解为问题的解。求问题的解,必须在约束条件的基础上辅之以试验方法。试验取值要充分关注1,2,…,13这13数的分布特点,注意数字之间的对称性与互补性。

如果取a13=1,考虑了数字间的对称与互补,取a9=4,a10=5,a11=2,a12=3填入图1中,再考虑补偿关系及相关约束条件,取a5=6,a6=7,a7=8,a8=9填入图1中,把这些数代入式(7),求得

图2 满足方程组解的第1种填充方法Fig.2 The first filling method of satisfying equations

将求得的a1,a2,a3,a4的值填入图1,得图2。

检验图2中各图所包含的7个数字之和,得M=38。于是a1=13,a2=12,a3=11,a4=10,a5=6,a6=7,a7=8,a8=9,a9=4,a10=5,a11=2,a12=3,a13=1为方程组(2)的一个解,即图2为一种填法。

取a9=5,a10=4,a11=3,a12=3。考虑约束条件,取a5=10,a6=11,a7=12,a8=13,代入到式(7)中,得a1=8,a2=9,a3=6,a4=7,填入四圆相交区域得图3。经检验知,图3为满足问题要求的一种填法,每个圆内所含有的7个数字之和均为42。

取a9=8,a10=9,a11=6,a12=7,a5=2,a6=3,a7=4,a8=5。代入式(7)中,得a1=13,a2=12,a3=11,a4=10,填入四圆相交区域得图4。检验可知M=42,即图4为问题的一个解。

图3 满足方程组解的第2种填充方法

图4 满足方程组解的第3种填充方法

取a9=9,a10=8,a11=7,a12=6,a5=10,a6=11,a7=12,a8=13。由式(7)求得a1=4,a2=5,a3=2,a4=3,填入四圆相交区域得图5。检验之,M=50。于是图5为符合问题要求的填法。

如果取a13=13,考虑数字间对称与互补,取a9=2,a10=3,a11=4,a12=1,a5=6,a6=5,a7=8,a8=7。由式(7)求得a1=11,a2=10,a3=9,a4=12,得图6填法。经检验,M=44,因此图6填法是问题的一个解。

图5 满足方程组解的第4种填充方法

图6 满足方程组解的第5种填充方法

如果取a13=7时,可给出3种填法,对应的M值分别为40,44,58,……。

以此类推,可得出四圆相交区域填充数字问题的15种解法,这里略述。

4 结 语

以上给出四圆相交区域填充数字问题的几种解法,发现每一种解法中M值均满足38≤M≤60。事实上,由式(5)可推得

(5+6+7+8)+2(9+10+11+12)+3×13+91=240

以及

(9+8+7+6)+2(5+4+3+2)+3×1+91=152

即有

152≤4M≤240

从而

38≤M≤60

以上考虑3种情况下的不同取值,得到相应问题的15个解,还可以考虑其他情况下的相应问题的解。

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Algebraic method for filling numerical problems of intersection region of four circles

SHIYejiao1,MENGXiantao2

(1. Applied Technology College, Dalian Ocean University, Dalian 116300, China; 2. School of Mathematics and System Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Inspired by the filling numbers of three circles in the intersectional region and algebraic method to solve the problem of magic square, the problem of filling numbers in intersectional regions of four circles is designed based on linear algebra methods. Firstly, the constraint equations of the filling problem are established, and they are deformed into five forms, namely, the five constraints. Then, upon discussion of the constraints, odevity of the number in intersectional region of four circles and summation of the four numbers in intersectional region of two circles as well as the odevity of summation of the four numbers in intersectional region of three circles and the four numbers in only one circle are obtained. On the basis of constraints, considering the symmetry and complementation of the numbers and different values in three cases, the 15 solutions of the problem are obtained by the method of experiment. Finally, the upper and lower bounds of the sum of 7 numbers contained in each circle are given to each solution. Proofs are provided respectively.

intersectional region of four circles; fill numbers; constraint equations; solve

2017-04-27。

国家自然科学基金资助项目(11201313)。

石业娇(1970-),女,辽宁大连人,大连海洋大学副教授。

1673-5862(2017)03-0335-04

O151.26

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.014