解密错位相减法

广东省惠州市惠东县惠东中学(516300) 李秉权

解密错位相减法

广东省惠州市惠东县惠东中学(516300) 李秉权

错位相减法在数列求和部分是必会的一个方法,属于常规方法,但是也是一个易错点.这类题目难度不大,多数学生都能按部就班进行错位相减,但是学生在错位相减后化简整理上容易出错,结果总是不对,导致整道题拿不到分.本文就对这个问题解密错位相减法,寻找错位相减法的通法,并能运用到答题中,让学生敢自信的说:“我的结果肯定没问题!保证得满分”.

一.什么样的数列求和适用于“错位相减法”?

通过总结不难知道型如:cn=an·bn,且{an},{bn}分别为等差、等比数列的求和问题可用错位相减法.即cn=等差×等比,如cn=n·2n;或者cn=等差/等比,如依然是“等差×等比”型.

等差数列的通项公式一般为关于n的一次函数型,等比数列的通项公式一般为指数型.所以,作一般化的推广和概括如下:

设 a=b1d,b=b1a1−b1d,则 cn=(an+b)qn−1(q/=1)所以,适合采用“错位相减法”求和的数列,其通项长成下面这个样子:cn=(an+b)qn−1(q/=1).

二.如何实施“错位相减法”?

下面我们以2014年全国I卷文科为例.

例题 (2014全国I卷文科第17题)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2−5x+6=0的根.

(1)求{an}的通项公式;

则

①−②得

这是错位相减法的常规解法,多数学生经过模仿和重复训练,基本能能够掌握以上错位相减法解题的固定步骤如下:

(1) 写出 Sn=c1+c2+···+cn;

(2)等式两边同乘以等比数列的公比q,即qSn=qc1+qc2+ ···+qcn;

(3)两式错位相减转化成等比数列求和;

(4)两边同除以1−q,化简和整理求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论.

但是,多数学生的“痛点”在于最后的化简和整理,计算量大,耗时长,易出错.“我会做,可是我不敢保证得分”,这是我们学生共同的心声.

三.寻找错位相减法的通法

那么,如何抚平错位相减法的这个“痛点”呢?我们能够确定的是一旦数列的通项公式给定,那么采用“错位相减法”计算的结果也被确定了.也就是说,结果是由通项里的相关量决定的,即有通法可以求出前n项和Sn,下面我们来探究一下错位相减法的通法.

若cn=(an+b)qn−1(q/=1),我们采用错位相减法求和.记

③−④得

故

由此,和的形式都可以概括为:Sn=(An+B)·qn+C,即我们发现和的形式也是有规律的,即错位相减法的通法:

若cn=(an+b)qn−1(q/=1),则Sn=(An+B)·qn+C,其中

于是,我们在以后的解题过程中,只需要研究A,B,C分别是多少,然后代入公式中即可.但要注意在上式中通项的格式是有严格要求的,即cn=(an+b)qn−1,且A是独立计算出来的,所以应该先计算A,然后再计算B,最后计算C,顺序不能乱,它们之间是相互依赖的.

下面我们就用上面2014全国I文科数学17题来验证:

从而,

与上面结果相符.

当然,通法增加了一些记忆量,但是相比结果的正确性,这点代价微不足道.且记忆有两个要领:

(1)形式的记忆

从通项 an=(an+b)qn−1(q/=1)到和式 Sn=(An+B)qn+C的变化:形式上是小写的an+b到大写的An+B,q的指数增加1,然后在后面增加一个常数项即可.

(2)数据的记忆

A,B,C与a,b,q的关系要清楚,A,B,C的计算顺序不能变.即

公式的记忆学生要在实际练题中强化,数次之后即可熟练掌握.

四.如何书写解题的格式

数列求和通常为解答题,在实施“错位相减法”求和过程中,基本的解题步骤要保留四步中的前三步,即

(1) 写出 Sn=c1+c2+ ···+cn;

(2)等式两边同乘以等比数列的公比q,即

(3)两式错位相减转化成等比数列求和;

(4)两边同除以1−q,化简和整理求出Sn.

的前三步保持不变,这是解题的过程,需要让改卷的老师看到,而把最后一步‘④→两边同除以1−q,化简和整理求出出Sn”用我们上面的通法的小公式计算出的结果来代替.即例题的答题只需如下书写:

例 (2014全国I卷文科第17题)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2−5x+6=0的根.

(1)求{an}的通项公式;

解析 (1)略解得{an}的通项公式为

(省去这步后面繁琐的化简整理).

这样既得到了过程分,又保证了结果的正确性.

[1]大不六文章网http://www.wtoutiao.com高考数学左老师错位相减法的痛点.