第一型曲面积分的中值定理

张晓呵广西民族大学理学院

第一型曲面积分的中值定理

张晓呵
广西民族大学理学院

本文提出了第一型曲面积分的中值定理，并给出相关证明。与现有证法的区别是本文并未用到连续性，而是引入了定义在曲面上函数的介值性，再加之可积性，来定义和证明中值定理，此外还提出了第一型曲面积分的相关性质。

第一型曲面积分；介值性；可积性；中值定理

此文为广西民族大学大学生创新训练项目“项目名称：第一型曲面积分的中值定理”的阶段性成果，该项目获得国家级立项，项目编号：201610608017。

1 引言

积分中值定理体系庞大，但仍然有大量数学学者在研究，在华东师范版[1]和刘玉琏[2]的数学分析中给出了积分中值定理和积分第二中值定理的定义和证明后，对于其在曲线和曲面上的形式并未明确，而本文给出了第一型曲面积分的中值定理。目前就第一型曲面积分的中值定理的提出和证明主要在连续型曲面[3-5]上，而本文给出的中值定理将“连续性”弱化为“介值性”和“可积性”，扩大其应用范围。

2 定义和定理

2.1 第一型曲面积分的定义和性质

我们先回顾文献[1]中关于第一型曲面积分的定义

定义2.11设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数，对曲面S做分割T，它把S分割成n个小曲面块Si(i=1,2,...n），以ΔSi记小曲面块Si的面积，分割T的细度若极限：

存在，且与分割T及(ξi,ηi,ζi)(i=1,2,...n)取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分，记作∬Sf(x,y,z)d S。

我们可以观察到，第一型曲面积分和第一型曲线积分有着很多类似之处，我们给出曲面积分的以下性质：

性质2.11（有界性）若函数f(x,y,z)在曲面S可积，则f(x,y,z)在S必定有界。

证明用反证法.若f在S上无界，则对于S上的任意分割T，必存在属于T的某个小曲面块Sk，f在Sk上无界，在i≠k的各个小曲面块Si上任意取定(ξi,ηi,ζi)，并记：

现对任意大的正数M，由于f在Sk上无界，故存在(ξk,ηk,ζk)∈Sk，使得：

于是有：

由此可见，对于无论多么小的∥T∥，按照上述方法选取点集时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给定的正数，这与函数f(x,y,z)在曲面S可积矛盾。

性质2.12设函数f(x,y,z)在曲面S可积，若f(x,y,z)≥0,(x,y,z)∈S，则

证明由于在S上f(x,y,z)≥0，因此f(x,y,z)的任意积分和均为非负，由f(x,y,z)在曲面S可积，则有：

证明令F(x,y,z)=g(x,y,z)-f(x,y,z)≥0,(x,y,z)∈S，显然F可积，由性质2.12推得

（7）式得证。

性质2.14若曲面S由小曲面块S1,S2...Sk接连而成，且也存在，且：i

证明参见文献[1]积分区间可加性和第一型曲线积分的性质二。

2.2 多元函数的介值性

我们先给出定义在曲面上的函数的介值性的定义。

定义2.21设f(x,y,z)是定义在曲面S上的函数，记：

我们称f在S上是可介值的，如果任意的实数α：m＜α＜M，在曲面上至少存在一点(ξ,η,ζ)∈S，使得f(ξ,η,ζ)=α.（11）

事实上，函数的介值性是弱于连续性的，若f在S上是连续的，则f在S上可介值的；反之却不一定成立。

3 主要结论

3.1 第一型曲面积分的中值定理

定理3.11（第一型曲面积分的中值定理）设f(x,y,z),g(x,y,z)在曲面Σ：z=z(x,y)上的函数，满足如下条件：

1）f(x,y,z),g(x,y,z)在曲面Σ上可积；

2）f(x,y,z)是可介值的；

3）g(x,y,z)在Σ上不变号；

则至少存在一点(ξ,η,ζ)使得：

证明f(x,y,z)在Σ可积，由性质2.11，f(x,y,z)在Σ有界，设M=sup{f(x,y,z)|(x,y,z)∈Σ},m=inf{f(x,y,z)|(x,y,z)∈Σ}.当m=M时，f为Σ上的常函数，（12）式显然成立。以下设m＜M，由条件3)，不妨设g(x,y,z)≥0,(x,y,z)∈Σ，这时有：

由性质2.13有：

其中Σl是Σ的任意一个小曲面块，其中第二个不等号是由性质2.12和2.14推得，由该不等式，我们知道由此我们可以断定，必存在一点(ξl,ηl,ζl)∈Σl，使得f(ξl,ηl,ζl)=M.若不然，任意的(x,y,z)∈Σl，都有f(x,y,z)＜M，从而[M-f(x,y,z)]g(x,y,z)＞0,(x,y,z)∈Σl，进而矛盾。因此，存在一点lllllll，即：

这就证得（12）式成立。

我们可以观察到，定理3.11运用到了函数的可积性和可介值性，而我们知道，如果f在S上是连续的，则f在S上可介值的，也是可积的，因此，我们也可以得到如下结论：

定理3.12设f(x,y,z),g(x,y,z)在定义在光滑曲面Σ：z=z(x,y)上的连续函数，且满足g(x,y,z)在Σ上不变号，则至少存在一点(ξ,η,ζ)使得：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2010.

[2]刘玉琏等.数学分析讲义（上、下册）（第四版）[M].北京：高等教育出版社,2003.

[3]吴世玕,杜红霞.曲线积分与曲面积分中值定理[J].赣南师范学院学报,2006,(06)：30-31.

张晓呵（1996-），男，汉族，河北张家口人，本科，现就读于广西民族大学应用数学方向。