关于数列极限定义教学的一点思考

赵亮

【摘 要】数列极限定义是高等数学中的一重要概念， 也是学生学习的难点，是后面学习的基础，但是数列ε-N定义的抽象性使很多学生难以理解，普遍感到“不知所云”，怎样教好数列极限，使学生真正理解极限的本质，掌握其精髓，以至熟练地去运用它呢？是一个值得探讨的问题。下面根据实际教学经历， 谈谈数列极限定义教学的一点心得体会。

【关键词】数列极限，ε-N定义

一、设置情境，导入新知

首先通过两个具体的实例，引导学生初步认识数列的极限：

（1）我国古代著名的哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去，那么把每天截下的长度列出来就可以得到一个数列

让学生思考当天数无限增加时，截下木棒的长度如何变化？通过思考、观察不难看出，当天数n无限增大时，数列的通项无限地接近于0。

（2）刘徽“割圆术”，早在公元3世纪，我国古代数学家刘徽就利用圆内接正多边形来推算圆的面积—割圆术，我们知道，当圆的内接正多边形的边数逐漸增大时，它与圆的差别就越小，其面积就越接近于圆的面积。在这里，不妨设圆的面积为S，圆的内接正六边形的面积为A1，圆的内接正十二边形的面积A2，…… 圆的内接正6×2n-1边形的面积为An……于是得到一个数列：让学生思考，当n无限增大时，数列{An}的通项An如何变化？不难发现，An无限地接近于圆的面积S。

除了上面两个实例外，再让学生看两个具体的数列：①；②1，4，9，16，25，…，n2，…；让学生仔细观察实例中抽象出来的两个数列和数列①②，它们有什么共同特征呢？在这里可以提示学生当n无限增大时，这4个数列有什么变化趋势？突出学生课堂的主体地位，让学生通过思考发现：当数列的项数n无限增大时，数列的通项都无限地接近于某一个确定的数，我们就称这个确定的数为数列的极限。因此，我们可以抽象出数列极限的初步定义：对于一个一般的数列{an}，当n无限增大时，若an无限接近于一个确定的数a，则称为数a为数列{an}的极限。 若不存在这样一个确定的数a，就说数列没有极限，如数列②。

二、由直观描述性定义过渡到精确定义

数列极限的描述性定义只是一种形象的描述，并不严谨， 尤其对于“无限趋近”的描述不精确、不严密， 无法进行测量。因此， 需要引进较为精确的定义。在这里关键要让学生理解“n无限增大时，an无限接近于一个确定的数a”这句话的含义，可以引导学生作如下分析：当n无限增大时， an无限接近于a。 也就是当n无限增大时， |an-a|无限接近于0。进一步可以理解为当n无限增大时，|an-a|可以任意小， 要多小就能有多小。换句话说就是当n增大到一定程度以后，|an-a|能小于事先给定的任意小的正数。因此， 如果 n 增大到一定程度以后，|an-a|能小于事先给定的任意小的正数， 则当n无限增大时， an限接近于常数a。

所以，我们就可以比较自然的给出数列极限的精确定义：设{an}为数列，a为定数，若对任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当时，有|an-a|<ε，则称数列收敛于a，定数a称为数列的极限，并记作或。

对定义中的语言需要向学生作进一步的解释，要指出ε>0；ε的任意性和确定性，其中任意是说ε要多小就有多小，这样就可以用|an-a|<ε很好的表达an无限接近a的意思；确定性的意思就是ε要给定，从定义中，不难发现，N是依赖于ε的，只有先确定下来ε，才能更好的去寻找正整数N，并且一般来说N是随着ε的减小而增大的。如数列， 易知，如果给定，则由知n>100时，，N=100即可；如果给定，则由知n>1000时，，N=1000即可。

在这里要向学生强调N并不是由ε唯一确定的，定义中只强调N的存在性，并不在意它的大小。

三、例题讲解，巩固新知

结合具体例题，引导学生总结论证法步骤：①计算；②对任意给定的ε>0，由开始分析倒推，推出；③取自然数，则当时，恒有；④由极限定义得。

四、课堂小结，加深反思

在课堂总结环节，让学生思考本节课我们学习了哪些知识？用定义证明数列极限的步骤是什么？通过提问，加深学生对数列极限的理解，掌握从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。极限理论是经过了近200 多年才建立起来的，教和学都不容易是可以理解的。 但只要我们在教学上由浅入深，分层次逐步引入定义，就会使学生学习的困难减少一些。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学（第六版）[M] .北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]桂绍辉.基于数学语言数列极限定义的教学.赣南师范学院学报，2013（3）：95-98.

教改课题：

（1）广西财经学院学位与研究生教改及学科建设课题：“应用型背景下”数学建模对创新型研究生人才培养模式的研究（XKYJ201613）.

（2） 2016年教师创新创业教育能力研究专项课题：“互联网+”时代数学建模对创新创业型人才培养模式的探索与研究--以广西财经学院为例（2016JSZXC14）

（3）《基于数学建模竞赛的应用型人才培养模式研究与实践》（2017A15）