渗透合情推理，有效激活教材

张彩云 段如甜

【摘要】圆锥曲线作为高考内容考查的重点，是高中学习的主要内容之一。圆锥曲线的第二定义揭示了圆锥曲线的内在联系，应用圆锥曲线的第二定义解题，不仅能够提高解题效率还有利于培养学生解决问题的能力。

【关键词】高中數学 圆锥曲线 第二定义 应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）29-0131-02

现行人教A版高中数学选修1-1教材中圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，圆锥曲线作为平面解析几何教学中的重点和难点，一直都是高考中重点考查的内容。圆锥曲线的定义不仅是教材中的基本内容，也是解决一些与圆锥曲线相关问题的一种不可或缺的方法。圆锥曲线的第二定义则把焦点、准线、离心率巧妙的整合在一起，在解决有关问题时，若能应用第二定义，将起到事半功倍的效果。然而，教材中并未明确的给出圆锥曲线的第二定义，只是以例题的形式呈现，内容单薄，容易被学生忽视，如果处理不当，将直接影响学生对圆锥曲线统一定义的理解。同时，介于圆锥曲线第二定义的重要性以及帮助学生建立全面的数学知识体系，在教材的基础之上，将课本中的例题和习题进行有机的结合，引导学生认识圆锥曲线的第二定义，并进行简单的应用，具体的教学流程如下：

一、问题的呈现

人教A版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程的第一节椭圆中的例6[1]：点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=■的距离的比是常数■，求点M的轨迹。

这道例题的设计，从本节内容上看，实际上承担了三个教学目标：一是考查学生对椭圆标准方程的理解程度；二是考查学生求轨迹方程的方法——直接法；三是通过具体的例子使学生感受椭圆的第二定义。

二、教学片断呈现

（一）在例题6的教学中，首先进行分析解答得到点M的轨迹方程为■+■=1，点M的轨迹是长轴长、短轴长、焦距分别为10、6、8的椭圆，此时教学目标一、二实现。其次，引出椭圆的第二定义，设计如下：

问题1：请学生独立完成课本43页习题B组第2题：点P与定点F（2，0）的距离和它到直线l：x=8的距离比是1：2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

生1：点P的轨迹方程：■+■=1，点M的轨迹是长轴长、短轴长、焦距分别为8、4■、4的椭圆。

问题2：请学生找出例题6与习题有哪些共同点？

生2：题目模式一样，都是动点到定点的距离与到定直线的距离比为常数。

生3：结论均为椭圆。

问题3：请同学们仔细观察两定点有什么共同点？

生4：例题与习题中的定点即为椭圆的焦点。

问题4：请同学们再次仔细观察两个题目中的定直线有什么共同点？

生5：例题中l：x=■=■，习题中l：x=8=■=■

问题5：两题中“常数”有什么相同点？

生6：例题中常数为■<1，且■=■；习题中常数为■<1，且■=■。

归纳概括特点：题目中的定点为F（c，0），定直线为l：x=■，常数为■。

得到拓展：点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到直线l：x=■（a>c）的距离的比是常数■，求点M的轨迹。

解答由学生独立完成，两位学生板演。得到点M的轨迹方程为■+■=1（b2=a2-c2），点M的轨迹为椭圆。

（二）类比椭圆的定义，得到椭圆第二定义，即若点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到直线l：x=■的距离的比是常数■（a>c>0），则点M的轨迹是一个椭圆（如图1）。定点F（c，0）是椭圆的焦点，直线l：x=■称为相应于焦点F的准线。由椭圆的对称性，相应于焦点F'（-c，0）的椭圆的准线l'：x=-■。

（三）信息技术应用加强椭圆第二定义的直观性

教材43页，信息技术应用；用几何画板探究点M的轨迹（如图2）。

图1 图2

（四）第二定义的应用

（1）由椭圆的第二定义得到椭圆的焦半径公式

若点M（x0，y0）为椭圆■+■=1上一点，则|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0

证明：∵■=■，∴|MF1|=■|x0-■|=|ex0-a|=a-ex0同理|MF2|=a+ex0

（2）由焦半径公式得|MF1|max=a+c，|MF1|min=a-c。由焦半径公式不难得|MF1|max=a+c，|MF1|min=a-c。这一性质在应用“到定点距离之和为常数”的“拉线法”作椭圆的演示时已经观察得出。这里通过焦半径公式推导，完成实践——理论的升华。

（3）设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过点F的弦，试判断以AB为直径的圆与左准线的位置关系。

解：设M为弦AB的中点（即圆心），A，B，M在准线l：x=-■上的摄影分别是A'，B'，M'。由椭圆的第二定义得|AB|=|AF|+|BF|，∴|AB|=e（|AA'|+|BB'|）而0

（4）已知A（-2，■），F是■+■=1的右焦点，点M为椭圆的动点，求|MA|+2|MF|的最小值，并求此时M的坐标。

分析：此题主要在于2|MF|的转化，由第二定义：■=e=■，可得出2|MF|=d，即为M到l（右准线）的距离，再求最小值可较快的求出。

解：过M作MN⊥l于N，l为右准线：x=8，由第二定义得■=e=■，∴2|MF|=d=|MN|，∵|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|，要使|MA|+2|MF|为最小值，即|MF|+|MA|为最小，由图知当A，M，N共线，即AM⊥l时，|MA|+2|MF|为最小，且最小值为A到l的距离为10，此时，可设M（x0，■），代入椭圆方程中，解得：x0=2■，故当M（2■，■）时，|MA|+2|MF|为最小，且最小值为10。

由此可见，椭圆第二定义的巧用，可使题目变为简单。一般地，遇到一定点到定直线问题若想到第二定义，在解题是可达到事半功倍的效果。

三、教学反思

椭圆、双曲线的第二定义，教材都以例题、习题的形式呈现出来，教师应该认真深入研究教材，把握教材编写思路，领会编写意图，把握例题、习题的教学目标。处理好椭圆第二定义的探究学习，双曲线的第二定义的类比学习，以及抛物线定义的学习，得到圆锥曲线的统一定义，将圆锥曲线有机联系起来，揭示了圆锥曲线内在联系，与教材开头语前后呼应，将这一章内容画了完美的“句号”。

参考文献：

[1]中学数学课程教材研究开发中心 编著.普通高中课程标准实验教科书（A版）数学（选修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2007：40.