初中数学常见的确定函数自变量的取值范围类型

陈基泽

确定函数自变量的取值范围时，通常从以下几个方面来考虑：

（1）当解析式为整式时，自变量的取值范围是一切实数；

（2）当解析式为分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数；

（3）当解析式是偶次根式型：取值范圍是使被开方式非负的实数。

（4）函数关系式含0指数和负整指数幂：底数≠0

（5）当解析式是由上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；

（6）当函数涉及实际问题时，自变量的取值范围要使该问题有意义。

⑴自变量自身表示的意义.如时间、用油量等不能为负数.

⑵问题中的限制条件.此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围.

（7）几何图形中函数自变量的取值范围

几何问题中的函数关系式，除使函数式有意义外，还需考虑几何图形的构成条件（面积是正数）及运动范围（线段是正数）.特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”

下面结合例题加以分析

例1 求下列函数中自变量的取值范围：

（1）y=2x-4； （2） ； （3） ；

（4） 。 （5） y=（x-3）0

分析：根据开头提到的五个方面进行思考即可。

解：（1）因为2x-4是整式，所以自变量 可取一切实数；

（2）因为 是分式，所以当x-1≠0时， 才有意义。

所以自变量x取x≠1的所有实数；

（3）因为 是二次根式，所以当2x-6≥0时， 才有意义。

所以自变量 的取值范围是 ≥3；

（4）由 得 且 ≤3。

所以自变量 的取值范围是 ≤3且 。

（5）含0指数，底数x-3≠0 ∴x≠3，x的取值范围为x≠3

例2 甲到乙的铁路长为360千米，一列火车以90千米/时的速度从南京开往上海，h小时后火车距甲s千米，用解析式表示s与h之间的函数关系，并求自变量h的取值范围（不考虑停站时间）。

分析：火车速度为90千米/时，h小时所行的路程为90h千米，于是s=311-90h。只对函数解析式而言，自变量的取值范围是全体实数。但h表示火车行使的时间，所以自变量h的取值范围是0≤h≤4。

例3.若等腰三角形的周长为40cm，请写出底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量x的取值范围.

解析：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=40-2x

①x表示等腰三角形腰长：x>0

②三角形中“两边之和大于第三边”：2x>y 即2x>40-2x ∴x>10

③等腰三角形底边长y>0，40-2x>0，∴x<20

∴自变量x的取值范围是：10

总之，确定函数中自变量的取值范围时，首先应找准函数所属的类型，然后根据不同的类型运用相应的方法来加以确定，这样能快速、准确地解决问题，从而收到事半功倍的效果。

另外要注意的是：一次函数和反比例函数的系数k≠0取值范围 ，以及二次函数系数a≠0 取值范围。

参考文献：

[1]杨品方.貌似神离的两类恒成立[J]；中学教研（数学）；2011年09期

[2]冯少华.利用函数定义域解题[J]；青苹果；2002年12期