仿生建筑中薄壳结构的力学建模及分析

邓泽宇

摘 要：仿生是人类学习自然、探索自然的重要方法。在建筑学的研究和发展中，研究者借鉴了自然界中的蛋壳、龟壳等壳类结构来帮助人们实现建筑物的轻质高强的设计目标。本文分析了在均匀压力加载下，薄壳结构和板结构的内力以及变形信息，并通过具体的算例对比了这两种结构在工程应用中的优劣。本文研究发现在相同外载荷下，如果薄壳代替板，结构产生的最大内力和最大位移会大幅度降低。同时，本文进一步探索了薄壳结构力学承载优势产生的原因。

关键词：仿生建筑；薄壳结构；外界压强；板结构；受力分析

中图分类号：TU33 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）14-0083-02

1 概述

经过万亿年的进化，自然界的生物具有高度优化的结构、形态和功能，因此生物界有太多值得人类学习和借鉴的地方。作为人类最古老的学科之一的建筑学，仿生方法对其研究和发展产生了重要的影响，大量新式的建筑也因此应运而生：比如美国芝加哥的人称“玉米大厦”的“玛丽娜城”大厦，荷兰鹿特丹的“城市仙人掌”以及诸多仿草茎结构的超高层建筑等等[1]。轻质高强一直是人类建筑设计所追求的目标。生物界的蛋壳、贝壳、乌龟壳、海螺壳等各种薄壳类结构不仅具有弯曲优雅的外形，更轻质高强。从力学的角度，这些生物薄壳虽然用材极少，但非常耐压。这是由于当薄壳结构承受压力时，结构内的每一处材料都会较为均匀地承受外力，相当于将材料的利用效率最大化。人们受到生物薄壳启发，在建筑工程中广泛应用壳体结构，从而实现了轻质高强的设计目标。比如受启发于贝壳的外形，法国修建了国家工业与技术中心（CNIT）大厦，这栋建筑具有当时世界上最大水泥苍穹，其薄壳棚顶下覆盖的面积几乎可以罩住巴黎协和广场；此外，美国肯尼迪机场候机大楼、人民大会堂、北京火车站以及其他很多著名建筑的屋顶都采用了薄壳结构[2]。

本文从力学的角度探讨薄壳结构在承受外界压缩时结构内部的受力特征。进一步地，通过对比薄壳结构和板结构在受到相同外力时的不同表现，我们发现了在承受相同外力条件下，选用壳类结构替代板类结构承压，能够大大降低结构产生的内力和变形，从而提高结构的安全性。以上讨论说明了在使用相同材料的情况下，使用薄壳设计是更加科学的选择。

2 薄壳结构的力学建模

壳和板是人们常用的两种承力的结构，其最大的差别是，壳具有一定的弧度，而板是一块平整的材料。初始弧度的差别就导致了板和壳在承受均匀外界压力情况下的力学表现完全不同。如图1所示，我们将针对板和壳在均匀外压下结构内部材料的受力状态进行分析，并根据板和壳的具体表现来判断哪种结构更适合承受载荷。

设板和壳都具有相同的厚度h，跨度D，承受的压强大小为p。在p作用下，我们选择结构的最大内应力σ和最大变形位移w作为评价结构力学性能的标准。其中σ代表单位面积上沿结构轴向的拉力的大小，其具有压强的量纲。显然，σ和p之间存在一定联系，即。换言之，，即受控于h和D的函数关系。由于是无量纲的，函数f的计算结果也必须是无量纲的，这就要求函数f的自变量也是无量纲的。于是我们可以得到

根据弹性力学和板壳理论的推导结果[3]，我们最终可得：

为了求解结构的最大位移w，我们需要引入材料常数E。与弹簧刚度的概念类似，E代表在单位面积上使单位长度的材料发生一定变形所需的力的大小。这个量也具有压强的量纲，比如对于钢材料，人们发现E=210GPa。显然，我们有如下几条结论：w随p增大而增大；E增大但p不变时，变形量w变小；几何结构跨度D增大时，变形量w也会相应增大。总结上述结论，我们有。整理上式后我们有，。类似于结构内力的分析，函数F的计算结果也必须是无量纲的。根据板壳理论的推导，我们最终有：

3 薄壳结构的力学承载优势分析

乍看上去，板和壳似乎并无太多差别：两者之间唯一的不同就是结构是否是弯曲的。实际上，这个形状的差别将会导致结构的内力以及变形大小完全不同。比如，我们采用公式（2）和公式（3）对以下案例进行分析：假设一个跨度D为20米的屋顶，由厚度h为20cm的钢板组成。由钢板的自重产生的压强p的大小为，其中钢板的密度为7.8t/m3，g为重力加速度。对于该算例，我们可以得到，=47.2MPa，=0.38MPa，两者之间的相差倍数为123.6倍；对于结构的最大位移，我们有=64.1mm，=0.013mm，两者之间相差5028倍！为了进一步说明壳式结构设计相对于板设计的巨大优势，我们改变跨度D的数值，并令h等其他参数保持不变，得到和随D的变化关系如图2所示。

通过图2我们可以发现，随着跨度D的增长，结构的最大内力比线性增长，而最大变形比以二次方形式增长。由于对于特定工程结构，如果结构的最大内力达到一定数值，材料可能会发生破坏，从而导致整个结构的失效，即结构中的最大内力越小则结构越安全；同时，由于空间的要求，结构的最大变形量也不能过大。根据图2的对比，以及人们对工程建筑的设计要求，我们可以发现，在结构均匀承压情况下，薄壳结构相对于板结构更具优势。

为什么初始曲率不同就会造成结构力学特性發生如此大的改变呢？我们通过图3可以进行一个简要的说明。如图3所示，由于板是平的，所以在在受压后，板的下表面承受拉力，而上表面承受压力，结构的最大内力在板的下表面处产生；与板不同，由于壳是弯曲的，在其内部承压时，结构的内力沿截面均匀分布。那么，对于板而言，沿剖面方向的内力大小处处不同，甚至有时连方向都不同，即每一处的材料使用的效率不同；而对壳而言，受力分布有较大的改善。根据图3的分析以及我们的生活常识，在相同受力条件下，一个处处“齐心协力”的结构具有更好的安全性及力学优势。

图3中所述的生物启发的力学原理，在大量的工程结构中得到了应用。比如，中国古代建筑的骄傲——赵州桥：其矗立千年而不倒的最主要原因是因为它的几何形态为拱形的。这种拱形的结构使得其具有和壳类似的受力特性：桥在受压时，结构内的各个砖瓦受力相对均匀，物尽其用，从而避免了局部破坏导致整体破坏的悲剧发生。

4 结语

仿生设计是人类科学研究中的重要手段和方法。通过观察自然界如蛋壳、龟壳等薄壳类结构的力学机理，人们在建筑上广泛使用了薄壳类设计作为承压结构。相比于广泛使用的板结构而言，在承受相同的均匀压力的条件下，壳类结构具有无与伦比的优势：比如，结构产生的内力更小，结构产生的变形位移更小。这些优势产生的主要原因是壳类结构的初始弯曲改变了结构内力的分布形式，从而使得结构内的材料承力均匀，物尽其用。

参考文献

[1]俞冬良，叶青会，李忠学.高层建筑中的仿生学原理及应用[J].结构工程师，2009（6）：138-143.

[2]叶青会，陶健，俞冬良，等.仿生学原理在空间结构中的应用[J].结构工程师，2010（3）：13-18.

[3]黄克智，等.板壳理论[M].清华大学出版社，1987.