浅析高考试题中的数学学科素养

王中华�お�

这两年教育的流行语排行榜中“核心素养”一定榜上有名.核心素养着力解决的是提高学生面对复杂情境下的问题解决能力，使之能够适应飞速发展的信息时代和复杂多变的未来社会.学生发展核心素养，主要指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.

现代数学的发展表明，数学的研究源于对现实世界的抽象，通过基于抽象结构的符号运算、形式推理、一般结论等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律.因此，数学不仅是自然科学的重要基础，而且在社会科学中发挥越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面.

数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.数学素养也是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.通过高中数学课程的学习，尤其通过高考的选拔，提升学生作为现代社会公民所应具备的数学素养，促进学生自主、全面、可持续地发展.

（1）获得进一步学习以及未来发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.

（2）提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习的习惯；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实、一丝不苟的科学精神；认识数学的科学价值、应用价值和人文价值.

（3）逐步学会用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养；用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养；用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养.增强创新意识和数学应用能力.

故在新的“高中数学课程标准”中提出了以下六大数学核心素养.

一、数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.

新课程标准对高考水平数学抽象要求：

能够在现实情境或数学情境中抽象出一般的数学概念和规则；能够将已知数学命题推广到更一般的情形；能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.

能够从多个角度理解数学概念、规则和命题；能够运用多种形式表示数学命题的条件与结论，并建立相关命题的联系；能够理解和构建相关数学知识之间的联系.

能够用准确的数学语言表达学过的数学概念、规则、命题与模型；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想.

在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象.

例1＼[2016·全国课标卷Ⅲ＼]定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数.若m=4，則不同的“规范01数列”共有（）.

A.18个B.16个C.14个D.12个

图1解析由题意，得必有a1=0，a8=1，则具体的排法列表如表1，答案：C.

方法归纳本例是由特定的数学情景和规则出发，提炼“规范01数列”的定义及其简单的应用.本题的解题关键是对新的数学情景的理解或对新概念的提炼升华，考查考生数学抽象的素养.

二、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理.

新课程标准对高考水平逻辑推理要求：

在实际情境和数学情境中，能够发现蕴含的数学规律，提出有价值的数学问题，并予以数学表达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径.

对于给定的与学过知识有一些关联的数学命题，能够通过对条件与结果的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程.

能够理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构.

能够在交流的过程中，围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据.

例2＼[2016·课标全国卷Ⅱ＼]有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是.

解析由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.

答案：1和3

方法归纳逻辑推理包括归纳和演绎.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.由于归纳的前提是特殊，是立足于观察、经验或实验的基础上的，因此归纳的结论不一定完全正确.但是在进行归纳推理的过程中，具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，故归纳推理对于发现问题的结论和探索解题思路有独到的作用.

三、数学建模

数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程.具体表现为：在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果.

新课程标准对高考水平数学建模要求：

能够在熟悉的情境中，发现问题、转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用.

能够选择合适的数学模式表达所要解决的数学问题；理解模式中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题.

能够在类似的情境中，经历建模的过程，理解建模的意义.能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果，形成研究报告，展示研究成果.

在交流的过程中，能够用模型的思想说明问题.例3 ＼[2016·四川卷＼]设函数f（x）=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）>1x-e1-x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）.

解析（Ⅰ）由题意，f ′x=2ax-1x=2ax2-1x，x>0.

①当a≤0时，2ax2-1≤0，f ′x≤0，fx在0，+∞上单调递减.

②当a>0时，f ′x=

2ax+12ax-12ax，

当x∈0，12a时，

f ′x<0；

当x∈12a，+∞时，f ′x>0.

故fx在0，12a上单调递减，在12a，+∞上单调递增.

（Ⅱ）原不等式等价于fx-1x+e1-x>0在x∈1，+∞上恒成立.

一方面，令gx=fx-1x+e1-x=ax2-lnx-1x+e1-x-a，只需gx在x∈1，+∞上恒大于0即可.

又∵g1=0，故g′x在x=1处必大于等于0.

令Fx=g′x=2ax-1x+1x2-e1-x，

g′1≥0，可得a≥12.

另一方面，

当a≥12时，F′x=2a+1x2-2x3+e1-x≥1+1x2-2x3+e1-x=x3+x-2x3+e1-x

∵x∈1，+∞故x3+x-2>0，又e1-x>0，故F′x在a≥12時恒大于0.

∴当a≥12时，Fx在x∈1，+∞单调递增.

∴Fx>F1=2a-1≥0，故gx也在

x∈1，+∞单调递增.

∴gx>g1=0，即gx在x∈1，+∞上恒大于0.

综上，a≥12.

方法归纳数学建模要在理解问题实质的基础上，构造恰当的数学模型.如本例，若解题中遇到有关不等式、方程及最值之类问题，构造辅助函数是解决问题常用的方法.设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了化.如研究不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立时，可以构造函数h（x）=f（x）-g（x），然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h（x）>0，其中一个重要技巧就是找到函数h（x）在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口.

四、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果.

新课程标准对高考水平数学运算要求：

能够在数学情境中明晰运算对象，提出运算问题，探究运算的方向和目标.

能够针对运算问题，正确分析运算条件、确定运算方向；能够合理选择运算方法、设计运算程序，综合利用运算法则解决问题.

能够理解运算法则与运算方法之间的关系，知道运算是一种演绎推理；能够在综合利用运算方法解决问题的过程中，体会程序化思想的意义和作用.

在交流的过程中，能够借助运算探讨问题.

例4＼[2016·四川卷＼]在平面内，定点A，B，C，D满足DA =DB=DC，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，动点P，M满足AP =1，PM=MC，则BM2的最大值是（）.

A.434B.494C.37+634D.37+2334

图1

解析由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，DA=DB=DC=2.如图1所示，以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则A2，0，B-1，-3，

C-1，3.

设Px，y，由已知AP=1，得x-22+y2=1，

又PM=MC，

∴Mx-12，y+32，

∴BM=x+12，y+332，

∴BM2=x+12+y+3324，它表示圆x-22+y2=1上点x，y与点-1，-33距离平方的14，∴BM2max=1432+-332+12=494.

答案：B

方法归纳课程标准及高考大纲对数学运算的要求较高，复习备考时要根据个人的实际情况，进行有针对性地训练.

五、直观想象

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

新课程标准对高考水平直观想象要求：

能够在实际和数学情境中，想象并构建相应的几何图形，借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律.

能够掌握研究图形与图形、图形与数量关系的基本方法；能够借助图形性质探索数学规律；能够通过计算、分析、论证，解决实际问题或数学问题.

能够通过直观想象提出数学问题；能够用图形探索解决问题的思路；能够形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义.

在交流的过程中，能够利用直观想象探讨数学问题.

例5 ＼[2016·天津卷＼]已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2a-1）>f（-2），则a的取值范围是（）.

A.（-∞，12）B.（-∞，12）∪（32，+∞）

C.（12，32）D.（32，+∞）

解析由f（x）是偶函数，可知在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，由题意得f（-2|a-1|）>f（-2），∴-2|a-1|>-2，∴2|a-1|<212，∴|a-1|<12，解得12

答案：C

方法归纳函数图象在方程、不等式中的应用策略：（1）研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别做出两函数的图象，数形结合求解；

（2）确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f（x）=0的根就是函数f（x）图象与x轴的交点的横坐标，方程f（x）=g（x）的根就是函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标；

（3）研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可做出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

利用函数的图象解决以上问题时的总原则是数形结合，故作出的函数图象一定要准确.

六、数据分析

数据分析是指从数据中获得有用信息，形成知识的过程.主要包括：收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据蕴含的结论.新课程标准对高考水平数据分析要求：

能够在生活情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间的关联，发现并提出概率或统计问题.能够针对具体问题，选择离散型随机变量或连续型随机变量刻画随机现象，运用适当的概率或统计模型解决问题；掌握概率或统计解决问题的基本方法.能够在运用统计方法解决问题的过程中，感悟归纳推理的思想，理解统计结论的意义；能够用统计概率的思维来分析随机现象，用统计概率模型表达随机现象的统计规律.

在交流的过程中，能够用数据呈现的规律解释随机现象.

例6＼[2016·全国卷Ⅰ＼]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图2所示柱状图.

图2

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（Ⅰ）求X的分布列；

（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？解析（Ⅰ）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11

记事件Ai为第一台机器3年内换掉i+7个零件i=1，2，3，4

记事件Bi为第二台机器3年内换掉i+7个零件i=1，2，3，4

由题知PA1=PA3=PA4=PB1=

PB3=PB4=0.2，PA2=PB2=0.4

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22

PX=16=PA1PB1=0.2×0.2=0.04

PX=17=PA1PB2+PA2PB1=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16

PX=18=PA1PB3+PA2PB2+PA3PB1=0.2×0.2+0.2×0.2+0.4×0.4=0.24

PX=19=PA1PB4+PA2PB3+PA3PB2+PA4PB1=0.2×0.2+0.2×0.2+0.4×0.2+0.2×0.4=0.24

PX=20=PA2PB4+PA3PB3+PA4PB2=0.4×0.2+0.2×0.4+0.2×0.2=0.2

PX=21=PA3PB4+PA4PB3=0.2×0.2+0.2×0.2=0.08

PX=22=PA4PB4=0.2×0.2=0.04

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，求双曲线离心率的取值范围问题涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强、方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式.现以2008年福建卷中一选择题（求双曲线离心率的取值范围）为例，探索求解该类题的解题方法.

题目双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.

A.（1，3）B.（1，3]

C.（3，+∞）D.[3，+∞）

解法1设点P的横坐标为x0，由|PF1|=2|PF2|，即ex0+a=2（ex0-a），解得x0=3ae ，又|x0|≥a，即|3ae |≥a，所以e≤3.

而双曲线的离心率e>1，故1

点评利用双曲线：若点P在双曲线x2a2-y2b2=1上，则|x|≥a，构造不等式求解.

解法2设点P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），由|PF1|=2|PF2|，则

（x+c）2+y2=2（x-c）2+y2（x-5c3）2+y2=16c29，则13c≤x≤3c，又点P（x，y）在双曲线x2a2-y2b2=1上，则x≥a或x≤-a，

∴c3≤a≤3c即13≤e≤3，而双曲线的离心率e>1，故1

点评由|PF1|=2|PF2|这一条件转化为点P在圆上运动，构造不等式求解.

解法3在△PF1F2中，记∠F1PF2=θ，由余弦定理，知

cosθ=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|

=（4a）2+（2a）2-（2c）22·4a·2a=5-e24

根据余弦函数的有界性，得-1≤5-e24≤1，考虑双曲线的离心率e>1，得1

点评在焦点三角形中，根据余弦函数的有界性求解.

解法4在ΔPF1F2中，记∠F1PF2=θ，根据双曲线焦点三角形的面积公式S=b2cotθ2，得

b2cotθ2=12×4a×2asinθ，

故X的分布列为：

X16

171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04

（Ⅱ）要令Px≤n≥0.5，∵0.04+0.16+0.24<0.5，0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5

则n的最小值为19.

（Ⅲ）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用：

当n=19时，费用的期望为19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；

当n=20时，费用的期望为20×200+500×0.08+1000×0.04=4080；

所以应选用n=19.

方法归纳解答统计与概率综合问题的注意事项：（1）从统计图表中准确获取相关信息是解题关键；（2）明确频率与概率的关系，频率可近似代替概率；（3）此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，需要注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义.（1）求回归方程时，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误.（2）根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.

（收稿日期：2017-04-12）