专升本考试中微分中值定理证明方法研究

张磊　卢传明　徐荣贵

摘 要：微分中值定理各个省份或学校专升本考试中《高等数学》考试中的常考内容。在微分中值定理的证明中，辅助函数的构造是首要步骤。因此，研究证明方法很有必要。原函数法（积分法）、常数K 值法和指数因子法是专升本考试中最常用的辅助函数的构造方法。

关键词：专升本 微分中值定理 证明 辅助函数

中图分类号：G642.4 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）07（a）-0200-02

“高等职业教育‘专升本考试”指高等职业院校专科学生升入本科院校时，所参加的选拨考试。通过专升本考试能够使大学专科层次学生进入本科层次阶段学习。袁娇娇[1]在对高职院校“专升本”学历教育的几点思考中提出，高职院校实行“专升本”教育能够促使教育体系更加完善，能够更好地满足社会的需求，同时可以缓解高职院校人才的就业压力。其实，施行“专升本”也是部分学生实现自身学历提升的一个途径，能够使那些在高考中失利的学生能够实现自己的本科梦。

在对历年专升本考试中出现的微分中值定理证明题分析和对学生调查后可知，微分中值定理证明题的重点和难点是辅助函数的构造。因此，该文对此进行研究并分别总结出相应题型的解法，以期为考生的备考起到积极的作用。

1 微分中值定理在抽象函数证明中辅助函数的构造

1.1 原函数法（积分法）

方法内容：从结论出发，利用导数（微分）与积分之间的互逆运算关系，将结论一端变为0，找出另一端的原函数即为所要构造的辅助函数，再利用该辅助函数来证明结论。

方法原理：对于拉格朗日中值定理的结论，从函数观点来看，为方程的根.在该方程两边同时求不定积分得（其中C为积分常数，下面如无特别说明则与此相同）。

构造步骤：三步法。

第一步：换元。首先把结论等式中的换成x，构造出微分方程；

第二步：变形。利用恒等变形把结论的形式化为易积分的形式；

第三步：移项。将上述形式进行积分后把积分常数C放在等式一边， 那么另一边就是所作的辅助函数。

例1：2010年河南专升本高等数学第52题。

设函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且。证明，在（0，1）内至少存在一点，使得成立。

分析：此题的结论为明显的导函数零点问题，因此可以用上述方法解决。这里首先把结论等式中的换成x，构造出微分方程，两边直接同时积分得到，移项得，从而可构造函数。

证明：构造函数，因在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，所以函数在闭区间[0，1]上连续，在开区间内可导，且。

于是在[0，1]上满足罗尔中值定理的条件，故在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。将代入上式，得，于是。

1.2 常数K值法

方法原理：表达式的形式具有对称性，从而利用对称性构造辅助函数。

构造步骤。

第一步：分离常数，把常数部分记为K。

第二步：恒等变形，把两个变量的表达式分别放在等式两端。

第三步：找对称，看关于各个变量的表达式是否为对称式，如果是，那么把其中一端的自变量改为x，相应的函数值同时改为f （x），变换后即为所求的辅助函数F（x）。

例2：（西华大学2013）设≥e，求证：。

分析：。

证明：设，则f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此有，因，故，即证。

1.3 指数因子法

方法原理：指数函数具有的可导不变性及非负性。即的各阶导数仍然是， 并且恒大于零， 我们可以利用指数函数的这种良好性质构造型辅助函数[6]。

例3：2013年四川理工学院第19题。

设与在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，证明：存在，使 0。

证明：构造函数，在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，还满足。于是由罗尔定理可知，至少存在一点，使得，即有。

2 微分中值定理在不等式证明中的应用

专升本考试中，不等式的证明也是常考题型之一。如河南的2005年、2011年、2012年、2014年的考试题中，四川理工学院2015年、西华大学2010年、2012年、2015年的考试题中均有涉及.尽管不等式的证明可以用单调性、最值等方法，但是运用中值定理证明的方法更加普遍。

用微分中值定理证明不等式时，通常也要构造相应的辅助函数。此处辅助函数的构造往往从结论出发，将结论转化为中值定理结论的形式，从而得出相应的辅助函数形式。下面以河南专升本2014年的考题为例进行讲解。

例4：2014河南专升本第53题。

设，证明：

分析： 。

证明：令f（x）=ln2x，则f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，即。又e

3 结语

在各省或者各个学校在专升本中《高等数学》考试中，盡管它们在题目设置上有所不同，但是，作为高等数学的一个重要知识点，微分中值定理在这些试卷上占据着重要的地位。因此，分析它在考试中的常考题型及解法无论对考生还是对辅导专升本学生的教师都是非常必要的。

由于微分中值定理中辅助函数的构造有很大的灵活性和技巧性，因此应具体问题具体分析，根据已知条件和所证结论中蕴涵的信息，大胆地运用归纳、猜想、分析与化归等数学思想，从而选择合适的辅助函数使问题得以解决。

参考文献

[1] 袁娇娇.对高职院校 “专升本”学历教育的几点思考[J].教师，2014（2）：29.

[2] 林美容.浅谈专升本《高等数学》课的辅导[J].甘肃联合大学学报：自然科学版，2011，25（6）：107-109.

[3] 赵丽.应用型高校学生数学专升本成绩的提升策略[J].安顺学院学报，2015，17（1）：116-117.