基于APOS理论下的小学数学概念教学模式——以《三角形的认识》为例

云南省教育科学研究院 管尤跃

基于APOS理论下的小学数学概念教学模式
——以《三角形的认识》为例

云南省教育科学研究院 管尤跃

管尤跃云南省教育学会副秘书长，云南省教育科学研究院小学数学教研员，贵州省教育厅特聘研究员，云南师范大学兼职教授。中国教育学会小学数学教学专业委员会学术委员，云南省教育学会小学数学教学专业委员会秘书长。

精彩的课堂来自于课堂精彩之处，源于学生的心底之音。日常的、平常的、正常的，即所谓家常的、常态的小学数学课堂教学就应如水，来自山间，来自江河，更应来自心灵，来自学生的感受和感悟，顺其自然，顺势而导，顺逆从容，顺应而生！

结合美国数学家杜宾斯基等人提出的一种数学教学理论——APOS理论。先分析对APOS理论四阶段（活动阶段、过程阶段、对象阶段和图式阶段）的认识，然后通过“三角形的认识”的教学实践尝试了APOS理论在小学数学概念教学中的应用，主要分析三角形的定义、特征以及底和高等多个概念之间的内在联系。

APOS理论 小学数学概念 教学模式 三角形的认识

一、引言

我们都知道，数学概念就是数学知识的“细胞”，数学学习过程就是一个不断运用数学概念的思维过程。高斯曾经指出，在数学中重要的不是符号，而是概念。数学概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较、分析、综合、概括、判断、抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的。

由于数学具有高度抽象性，在教学中应该注重体现概念的来龙去脉，经历数学概念从具体到抽象的过程，在运用中逐步理解概念的本质。但在一线教学实践中，很多教师认为概念就是一种规定，就是一种定义，就是一种约定俗成，没什么好讲的，只要能记住就行；或者认为小学阶段的数学概念大多“显而易见”，无须多讲；或者浅尝辄此，草草收场，节省时间用来“刷题”。此现象在常态课中屡见不鲜，如何才能将小学数学概念教学执行“到位”？下面就结合APOS理论，以《三角形的认识》为例，简要谈一谈小学数学概念教学模式。

二、引论

APOS理论是20世纪80年代由美国数学教育家杜宾斯基提出来的一种关于数学概念学习的理论，这种理论具有很强的数学学科特色，被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一。该理论认为学生学习数学概念需要经历四个阶段的心理建构，即活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式阶段（Scheme），简称APOS。指出：学生学习是一个建构的过程，建构是有层次的，反映的是学生学习数学概念过程的真实的思维活动。

尽管国内外众多学者对教学模式的解说不一，无法达成一致认识，我更愿意接受这样的观点，教学模式指的是在一定教学思想指导下所建立的比较典型的、稳定的教学程序或阶段，又称为“教学结构”。教学模式源于教学实践又反过来指导教学实践，是人们在长期的教学实践中不断总结、改良之后逐步形成的。小学数学概念教学的重要地位和价值无须赘言，是否应该有相对适用、合理而有效的模式可供参考和借鉴？大家所熟知的概念形成模式、同化模式、“七阶段”模式等，在小学数学教学中都得到了广泛的认同和使用。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。”“数学概念具有过程和对象的双重性，它既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。”

小学数学概念的本质如何让学生在学习过程得到揭示和经历其发展过程成为制约小学数学教学发展的重要因素，APOS理论在小学数学教学中的合理运用，可以充分体现小学数学概念的形成过程，充分反映学生个体认知数学概念的思维过程，充分揭示小学数学概念学习的本质。更为重要的是，这与当前我国新一轮课程改革所倡导的理念是一脉相承的。

基于此，我想以一节涉及很多数学概念的课为例，来分析如何使用APOS理论作为指导，突出各概念间的联系，更为重要的是剖析概念之间以及概念域和特征之间的内在联系。

三、引例

下面将以人教版数学三年级下册《三角形的认识》为例（不涉及三角形的稳定性），在文中，仅就三角形的定义以及三角形的底和高的教学作为研究对象。请看教材：

值得我们一起思考的几个问题：

1.教材中为何要以“找”三角形为情境，以“画”三角形、“说”三角形为例题？

2.对于“由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫作三角形。”这个定义是三角形的标准定义吗？这个概念重要吗？有多重要？如何组织、引导学生进行总结、归纳？是否需要准确描述并记忆？

3.对于“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫三角形的底。”这一组概念域，如何形成？教学中的重难点如何突出、突破并使之顺其自然、顺理成章？

4.概念教学如何展开才能做到“自然而然”？概念域如何相得益彰？三角形的特点和概念域之间的本质联系及其内涵如何凸显？

根据《三角形的认识》这节课“概念较多”的特殊情况以及APOS理论的阶段特性，本文按照APOS理论的阶段顺序，打乱教学内容顺序的方式展开研究，以期能更好地体会四阶段分步实施、交叉进行、循序渐进、水乳交融的过程，体会教学多个“单概念”之后形成一个“概念域”的思想。

1.活动阶段

在教学中不仅需要外在的动作“活动”，如操作、实践、实验等，也需要内在的思维“活动”，如回忆、思考、猜想、判断等。这个阶段，可以为学生积累数学活动经验，也可以为数学概念的形成提供对象，不仅可以成为建构数学概念的起点和生长点，也一定是数学概念认知的基础和前提。

（1）三角形的定义

活动1：①外显活动——观察。

同学们，你们知道这是哪儿吗？请你找出图中的三角形。

②内隐活动——回忆。

在生活中，你在哪儿见过三角形？

活动2：①外显活动——操作。

看得出来，同学们对三角形都有认识，但要清楚、准确地理解三角形，还得请大家动手画一个三角形。

②内隐活动——思考、想象、判断。

请你一边画，一边思考：我是怎样画的？什么样的图形是三角形？

如果不画三角形，请你想象一下三角形长什么样？有多少种样子？

出示一组图形，请学生判断哪些是三角形，哪些不是。

（2）三角形的底和高

活动3：①外显活动——操作。

师：三角形除了有3条边、3个角和3个顶点以外，和平行四边形、梯形一样，三角形也有底和高吗？那什么是三角形的高？什么又是三角形的底呢？请看教材第60页的内容。

让学生尝试说说什么是三角形的高，什么是三角形的底。

师：先想一想，怎样在刚才画的三角形（锐角三角形）内画出一条高？看谁画得最规范。

师：怎样正确地画高呢？请一名同学来画出黑板上这个三角形的高？边画边说你是怎么画的。

生：以A为顶点、BC边为底画一条高，先用三角板的一条直角边与BC边重合，另一条直角边通过A点，然后从A点向它的对边BC画一条垂线，用虚线表示，标出直角符号，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高，写上高，这条对边叫作三角形的底，写上底。

②内隐活动——思考、想象、判断。

师：还是刚才这个三角形，换个位置你还能在BC边上画出它的高吗？怎样画？请用手势比划比划。再换一个位置呢？

师：你还能在这个三角形中画出其他的高吗？还能通过哪个顶点向它的对边作垂线画高？

2.过程阶段

如何将之前在学生头脑中的“活动”描述出来，并不断地进行分析和反思，通过思维的内化和整合，形成过程模式，抽象出概念的本质，即外在“活动”内化为隐形“过程”。在此阶段中，学生个体会表现出一定的自动化特点，不再需要实际的“活动”而是在意识中思考“过程”。这个阶段学生个体会“自动”对此概念进行一般化，对数学概念的实质从认识上升到认知、从感性上升到理性，初步形成数学概念。

（1）过程一：“画”出三角形的定义。

师：你能用简单的话说说你是怎样画的吗？请其他同学用手势跟着画。还有其他画的方法吗？（展示一般随机而无序的画法、按照某个方向有序连接的画法、一条线段及线段外的某一点和先确定三个点再依次连线等不同的画法。）

比较这几种画法，你认为怎样画三角形更合理一些？

根据刚才的比较学习，再思考什么样的图形是三角形？请把你的想法写下来。（根据学生的思维特点和语言特点，一般都只习惯于说表面现象：由三条线连起来的图形就是三角形；有三个角的图形就是三角形；或者反过来说，三角形有三个角和三条边，三角形是由三条线组成的，等等。）

对于教学中的“生成”如何“顺流而下”？需要的是教学智慧：有三条边、三个角和三个顶点的图形就是三角形吗？

请大家想想刚才的这两种画法，是不是都有这样的一个过程：

根据学生的语言情况适当引导总结出怎样的图形才是三角形，特别要注意的是：在学生说出三角形有三个角、三条边、三个顶点等特征时，即可“随机”板书。

再次根据“画”三角形的过程，适时板书所形成的定义。

（2）过程2：“辨”出三角形的底和高

师：（第一次画BC边上的高）仔细观察你画的三角形的底和高，它们的位置有什么特点？（互相垂直）

师：三角形的底和高是一组互相垂直的线段。画三角形的高实际上就是我们学过的过直线外一点，画已知直线的垂线段。

三角形有三条边和三个顶点，能画出几条高呢？

3.对象阶段

对之前两阶段初步形成的数学概念，形成一个将“过程”看成“整体”的自觉意识，并对此概念进行变形和转换，将动态的“过程”慢慢凝聚为一般意义上的静态的数学“对象”。“对象阶段”是一个内在的思维活动过程，此时概念即从动态的活动过程转变为一种静态的结构关系，有助于对数学概念的本质进行整体把握。

对象：联系与拓展（也是一种“内隐活动”）

请同学们完成教材第60页的“做一做”：

师：刚才我们知道了一个三角形有几条高？你能作出后面两个三角形其他两条边上的高吗？怎样作呢？为什么会是这样子呢？（结合刚才学习的“底和高的对应关系”，联系三条边和三个顶点的关系，知道任意一个三角形都有三条高。直角三角形和钝角三角形也有三条高，清晰地知道并画出特殊位置上的高。教学虽然不要求，但这是一个必须经历的完整的认识过程，更是领悟概念本质、厘清概念内涵和外延的重要组成部分。）

4.图式阶段

此阶段中，学习个体对之前进行的活动、过程和对象以及认知结构中与此概念相关的其他概念进行相应的整合，在头脑中产生一个新的心理图式。该阶段是学习个体对数学概念进行更高层次的心理加工与整合的过程，有助于对数学概念的理解与应用进一步深化。

图式：联络与整合

师：刚才我们学习了三角形的定义、特征以及三角形的底和高，这些都是一个个孤立的知识点吗？它们之间有没有本质的联系？请大家联系以前学过的和今天所学习的知识仔细想一想。

引导学生观察：定义、特征之间有没有什么关系？找到：三条边就是围成三角形的三条线段，在“围成”的过程中每两条边（线段）正好“围”成一个角，每个角都有一个顶点。

四、引议

在教学《三角形的认识》中，结合APOS理论可看出：

对三角形的认识中相关概念属性的具体操作、观察，呈现数学概念的具体实例阶段就相当于活动阶段；

从多个具体操作、具体活动和具体实例中抽象概括出三角形相关概念属性的阶段则是过程阶段；

将每个概念或概念组作为一个个抽象的概念出现在头脑中，是能将概念作为一个独立的对象并施加各种心理运算的阶段就是对象阶段；

图式阶段指对三角形有关概念的具体实例、本质属性及其应用的认识进一步充实丰富之后，这些概念会以一种完整的心理图式贮存于大脑中，包括具体的“活动”——实例、抽象的“过程”、完整的“对象”——定义，以及与其他概念之间的区分与联系，等等。

本节课的教学，最能体现APOS理论在小学数学概念教学中的运用价值，因为，“数学概念教学应该返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型，概念的抽象过程、形式表述和符号化的运用等多方位、多角度地理解一个数学概念，使之符合学生概念建构的教育原理。”基于此，笔者认为基于APOS理论指导下的小学数学概念教学可以从以下几个方面着手：

第一，APOS理论的“四阶段”在同一个（或单一）概念教学中的使用是按顺序依次进行的，但是对单位时间内要完成多个有紧密联系的“概念组”来说就可能需要多次重复、交叉进行这四个阶段的任务。

第二，小学数学概念的建立需要经过长时间的多次反复过程。一个概念的建立从“活动”“过程”到“对象”的不断抽象、具体、压缩、形成，直到学生理解是一个较为漫长的过程，特别是达到“图式”阶段需要的是学生用简洁的语言、文字、符号表征并在头脑中建立这组概念的直观结构形象。

第三，让“教”“学”合一。教学重心是使教和学和谐共生，相互促进，精心设计“活动”（包括外在的和内隐的），主动参与“过程”，自觉形成“对象”。感受到数学知识内部结构之间的联系，领会数学的思想和方法，培养和积累数学应用意识。

第四，认识APOS理论的价值和作用。APOS理论不仅是概念教学的理论，也是一种工具，可以根据它来设计教学全过程（包括教学目标、教学活动、教学组织等）。同时，我们也可以用其作为一种检测评价手段或工具，对学习现象、学习过程、思维过程和思维结果等进行观察、分析和评价，了解学生的学习水平处于何种层面，反过来思考和调整教学的行为、策略和方法。♪