基于Isight平台DOE方法的并联机构多目标优化设计

杜岩锦，郭宗和，李泽众

（山东理工大学 机械工程学院，淄博 255049）

基于Isight平台DOE方法的并联机构多目标优化设计

杜岩锦，郭宗和，李泽众

（山东理工大学 机械工程学院，淄博 255049）

以提高并联机构的整体性能为目的。以3-PUU并联机构为例，首先根据虚设机构法建立影响系数矩阵，包括雅可比矩阵和海塞矩阵，并通过Adams虚拟建模仿真验证影响系数矩阵的正确性，然后综合考虑工作空间、速度、加速度、惯性力等方面的需求建立并联机构的性能指标，根据性能指标多目标优化设计模型，最后基于Isight软件集成MATLAB，采用最优拉丁超立方法进行试验设计，通过NSGA-II算法进行多目标优化设计。优化结果表明，基于Isight的多目标优化设计方法不仅高效而且可以得到Pareto解集, 决策者可以根据并联机构的具体服役环境权衡选择整体性能最优解。

并联机构；影响系数矩阵；实验设计；多目标优化设计；Isight

0 引言

并联机构以其运动精度高、刚性好、动态响应灵敏、承载能力强等优点被广泛应用于运动模拟器、工业机器人、虚拟轴机床、微动机械、医用机器人等多个领域[1]。并联机构的多个需求性能之间存在着或相互制约、或相互耦合的的关系，某项性能指标的提高有可能是以其他性能指标的下降为条件，因此在并联机构整体性能的优化设计中，要把多个性能需求同时考虑在内，以多个性能指标为目标函数建立多目标优化设计模型，对并联机构进行多目标优化设计。在传统的优化设计[2,3]过程中，设计者们大多数采用多目标优化算法进行繁琐的数学推导，理论性强，计算复杂，工作量大。

随着计算机技术的快速发展，计算机辅助优化软件Isight[4]在航空航天、飞行器的优化设计[5]中取得了显著成果。本文以少自由度三平移3-PUU并联机构为例，在文献[6,7]的基础上，将Isight软件应用于3-PUU并联机构的多目标优化设计中。根据3-PUU并联机构的影响系数矩阵，综合考虑并联机构在工作空间、速度、加速度和惯性力等方面的性能要求，构建3-PUU并联机构的多目标优化模型。以Isight软件为平台，集成MATLAB，首先采用Isight封装的实验设计（DOE）组件中的最优拉丁超立方法，分析设计变量与目标函数之间的关系和趋势，辨识关键的设计变量并得到初始优化值；然后以实验设计探索的结果为基础，采用Isight封装的优化组件中非劣排序遗传算法（NSGA—II）进行多目标优化设计，行成自动化、可视化的优化流程，为提高并联机构的整体性能提供更加高效、直观的思路和方法。

1 3-PUU并联机构模型

3-PUU并联机构模型示意图与结构简图如图1所示，由三条相同结构参数的运动支链、动平台以及立柱和定平台组成的固定机架组成，每条运动支链都由移动副，两个虎克铰组成。各滑块的中心位置为Pi(i=1,2,3)，滑块与立柱之间通过移动副连接，移动副轴线记为Ri1，与滑块相连的虎克铰记为Ui1，Ui1转动轴线中心位置为Ai，在本文的分析中将Pi与Ai简化为一点，与动平台相连的虎克铰Ui2转动轴线的中心位置为Bi，虎克铰可看做由两个正交转动副组合而成，组成Ui1的两个转动副轴线记为Ri2、Ri3，组成Ui2的两个转动副轴线记为Ri4、Ri5，其中动平台用B（等边B1B2B3）表示，定平台用D表示，三条支链用Pi-Ai-Bi表示。以定平台D1D2D3的中心O为坐标原点，X轴的方向与D1D2平行，沿立柱方向为Z轴，根据右手定则建立定坐标系O-XYZ。以动平台B(B1B2B3)的质心B为坐标原点，x轴与B1B2平行，竖直向上为z轴，在动平台上建立动坐标系o-xyz。定平台D的外接圆半径为R，动平台B的外接圆半径为r，连杆长度均为。

图1 3-PUU并联机构模型与结构简图

2 影响系数矩阵的建立

并联机构运动影响系数不仅能反映并联机构运动学本质，并且可以深入分析机构的可速度、加速度、惯性力等性能指标。将3-PUU并联机构运动支链上的虎克铰等效分解为两个正交的转动副。用Sj(i)来表示第i(i=1,2,3)条运动支链上的第j(j=1,2,3,4,5)个运动副的中心轴线方向的单位矢量，Rj(i)是各个运动副在固定坐标系O-XYZ中的位置矢量，向量q=(x,y,z)表示动平台上的中心点B到定平台中心点O的矢量，表示各个运动副与动平台上的中心点B的线矩[8]。根据虚设机构法[9]，将三个分支运动链中的虚设运动副的方向和线矩拟定为：

2.1 一阶综合影响系数矩阵及速度分析

根据3-PUU并联机构基本副的构成特点，第i条支链的一阶综合影响系数矩阵[8]可写为：

其中第i(i=1,2,3)条运动支链各运动副轴线方向的单位矢量分别为：

各个运动副的位置矢量R(i)j：

3-PUU并联机构三条支链上的移动副为驱动副。虚设运动副的输入速度和加速度都必须为零。根据并联机构驱动输入的选择，以矩阵的第一行和第二行一共6个线性方程建立一个新的矩阵[GqB]，即一阶综合影响系数矩阵：

据此，可以建立3-PUU并联机构动平台质心B速度与驱动输入之间的关系：

一阶综合影响系数矩阵[GqB]又称为Jacobian矩阵，记为[G]。

2.2 二阶综合影响系数矩阵及加速度分析

联合式(2)、式(4)并求导可以建立3-PUU并联机构动平台质心B加速度AB与驱动输入加速度之间的关系：

式中：

“*”表示的具体运算方式为“*”前面的矩阵乘以“*”后面矩阵里的任一元素。类比可以写出

[H]即为3-PUU并联机构的二阶综合影响系数矩阵，也叫做Hessian矩阵。

2.3 基于Adams仿真的影响系数矩阵验证

给定3-PUU并联机构的结构参数以及动平台运动特征：R=200mm，r=50mm，l=150mm。设动平台的质心B点的运动特征为：

1）根据式(3)、式(5)，利用影响系数法求滑块输入速度和加速度（采用MATLAB绘制速度图谱，如图2(a)中v1,v2,v3所示，加速度图谱如图3(a)中a1,a2,a3所示。

2）采用Pro/E和Adams联合建模的方式建立仿真模型[10]。利用Pro/E建立3-PUU并联机构模型，并拾取关键位置点(Pi,Bi,Di)的坐标，在Adams中利用关键位置点建立与理论模型一致的仿真模型。在动平台质心B点添加入设定运动轨迹的运动激励。在仿真结果后处理界面中可看到滑块速度仿真曲线，如图2(b)所示，加速度的仿真曲线如图3(b)所示。

图2 滑块速度图谱

图3 滑块加速度图谱

通过对比发现，利用影响系数法和Adams软件虚拟建模仿真这两种方式所得三滑块的速度和加速度的图谱是吻合的，这验证了影响系数矩阵的正确性，为3-PUU并联机构性能指标的建立以及优化设计的提供了基本前提和保证。

3 性能评价指标

3.1 工作空间指标

现阶段的并联机构优化设计的重点之一就是如何解决工作空间小的问题。根据文献[6]对3-PUU并联机构工作空间的分析，利用极坐标搜索法得到工作空间体积公式[9]：

通过合理的设置机构参数，使得3-PUU并联机构的工作空间越大越利于实际应用。

3.2 速度全域性能指标

并联机构驱动副输入与动平台输出速度精度由速度性能指标[11]kG评价：

Jacobian矩阵随着并联机构形位的改变而改变。因此，以工作空间三维图以及体积的求取为基础，用速度全域性能指标来衡量并联机构在整个工作空间内的速度传递性能，即：

其中，W表示并联机构的工作空间。

并联机构能够对指令做出快速响应，因此速度性能指标vη的值越小越好。

3.3 加速度全域性能指标

根据影响系数法对3-PUU并联机构加速度与Jacobian矩阵和Hessian矩阵的关系，得到少自由度3-PUU并联机构加速度性能指标

ηa反映了并联机构在整个工作空间内加速度的精确度，ηa的取值越小加速度精度越高，本文的分析计算中取a=2%，b=2%。

3.4 惯性力全域性能指标

惯性力指标密切影响着并联机构的控制精度。仅考虑并联机构结构参数本身对惯性力的影响，少自由度并联机构关于Jacobian矩阵和Hessian矩阵的惯性力综合条件数[11]为：

(i=1,2,3)为转动影响系数矩阵的第i行。并联机构的惯性力条件数，来讨论并联机构的结构参数与惯性力大小的关系。以惯性力全域性能指标来衡量控制精度。

τF的值越小表示并联机构的控制精度越高。

4 实验设计为基础的多目标优化设计

4.1 多目标设计优化模型的建立

其中，约束条件即为3-PUU并联机构工作空间的限制约束条件[6]。

4.2 基于Isight的多目标优化设计

以Isight软件为平台，采用实验设计（DOE）组件和优化（Optimization）组件集成MATLAB软件的优化策略[12]，完成并联机构的多目标优化。优化基本流程为：采用实验设计，在设计空间中均匀采样，对输入参数进行敏感度分析，并捕捉整个设计空间中最有效的设计区域，得到优化初始值，然后在初始值的基础上在有效设计区域中进行多目标优化设计，在所有得到的pareto最优解[13]中根据实际应用选择最优折衷解。

在Isight中建立多目标优化设计流程如图2所示。在优化参数与方法设置方面：在MATLAB组件中导入程序，根据多目标优化模型设置输入设计变量（Input Mappings），输出设计变量（Output Mappings），以动平台外接圆半径r，定平台外接圆半径RI，定长连杆长度l为输入设计变量，以工作空间（V），速度全域性能指标（sudu），加速度全域性能指标（jiasudu），惯性力全域性能指标（guxingli）为输出变量。DOE组件中选择最优拉丁超立方法（OptLHD法能使所有的试验点均匀的分布在设计空间，具有很好的空间填充性和均衡性），将样本点设置为20，设置输入设计变量的上下限以及输出变量的取值倾向。在Optimization组件中选择封装的NSGA-Ⅱ算法（NSGA-Ⅱ在非支配排序中，由于贴近Pareto前沿的个体被选取，使Pareto的前进能力明显增强），将种群大小设置为4，遗传代数设置为20。

图4 优化设计流程

4.3 多目标优化设计结果分析

4.3.1 实验设计（DOE）结果分析

通过试验设计可以得出的主效应图和贡献率图可定性定量的分析设计变量与优化目标之间关系。由于篇幅有限，在实验设计的结果分析中，仅列举部分优化结果。如图5所示为设计变量对速度性能的主效应图，图6为设计变量对速度性能的贡献率图。从主效应图可以看出动平台和定平台的半径对速度性能指标的影响都比较大，基本呈线性关系，速度全域性能指标随着动平台半径径的增大而减小，连杆长度对速度的影响相对较小。在贡献率图中，正效应由蓝色条形表示，反效应由红色条形表示，定平台半径对速度的贡献率为-32.8%（以负号表示反效应），动平台半径对速度的贡献率为31.6%，影响相对较大；连杆长度对速度的贡献率为11.2%，影响相对较小。主效应图与贡献率图所反映的设计变量与优化目标之间关系相一致。在零部件的加工制造中，我们可以参考主效应图和贡献率图控制结构尺寸的加工精度，对需求性能指标影响较大的设计参数，应该严格控制其加工精度。

图5 设计变量对优化目标（速度）的主效应图

图6 设计变量对优化目标（速度）的贡献率图

4.3.2 多目标优化结果分析

通过Isight可以查看NSGA-II算法优化过程中的History表格，如图7所示，通过History表格可看到每次优化后的结构尺度参数以及相对应的优化结果，即Pareto解集。图8是由History表格得到的可行性设计点历史图，目的是可以看到每次优化后所得优化结果的变化规律。History表格中绿色数据条表示Isight推荐的最佳设计点，浅蓝色数据条表示可行设计点，白色数据条没有明显优势。优化过程中的可行性设计点用蓝色圆点标记，Isight推荐的最优设计点用绿色圆点标记。结合History表格，我们可以看出Isight推荐的最优设计点为第61个样本，在这个样本下，工作空间、加速度和惯性力性能分别达到最优，但是速度性能较差。

在实际应用中，最优设计点应根据并联机构的服役环境和性能需求综合考虑多个优化目标的优劣程度进行权衡选择。比如当把3-PUU并联机构应用于高精度小型精密零件的加工设备中，首先保证并联机构的速度全域性能和加速度全域性能都需要越小越好，平衡两个性能指标的取值可以选取第11，17，55，58，68，73组优化解；其次要求惯性力全域性能尽可能小，选取第17，55，58组优化解； 然后考虑工作空间足够大选择第58组优化解。因此最终结构尺寸的优化解取为l=218.75mm，r=45.84，RI=131.31mm。通过表1的对比结果可以看出，3-PUU并联机构的整体性能得到提高。

图7 优化过程的History表格

图8 设计参数的可行设计点图

表1 多目标优化结果分析

5 结论

1）采用虚设机构法建立了少自由度三平移3-PUU并联机构的影响系数矩阵，并采用影响系数法理论计算所得驱动副的速度和加速度图谱与Adams虚拟建模仿真曲线是吻合的，由此验证了影响系数矩阵的正确性。这为3-PUU并联机构基于影响系数矩阵的性能指标的建立以及设计优化提供了基本前提和保证。

2）根据性能评价指标构建3-PUU并联机构多目标优化模型，以Isight软件集成MATLAB，采用最优拉丁超立方法进行试验设计（DOE），可以非常方便的得出各个设计变量与各个目标函数的影响程度关系图，为并联机构各个构件的加工精度提供了依据。对DOE得出的近似模型通过NSGA-II算法进行多目标优化，得到Pareto解集, 决策者可以根据实际情况综合考虑多目标的优劣程度进行权衡选择。基于Isight的3-PUU并联机构多目标优化设计方法可视性及可理解性增强，也有利于提高并联机构整体性能优化设计的效率及准确性。

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Multi-objective optimization design of parallel mechanism based on Isight platform DOE methods

DU Yan-jin, GUO Zong-he, LI Ze-zhong

TH122

：A

1009-0134(2017)07-0099-07

2017-05-15

国家自然科学基金资助项目：基于柔性关节的多维高频激振平台设计理论及非线性解耦控制（50905077）；山东省自然科学基金项目：考虑多源不确定性的并联机器人多学科可靠性设计优化（ZR2016EEM12）

杜岩锦（1988 -），女，山东泰安人，硕士研究生，研究方向为机器人学和多学科优化。