例谈数形结合在高中数学中的妙用

鲍 慧

（嘉兴市第三中学 浙江 嘉兴 314050）

例谈数形结合在高中数学中的妙用

鲍 慧

（嘉兴市第三中学 浙江 嘉兴 314050）

数形结合思想是高中数学主要的思想方法之一，其本质是“数”与“形”之间的相互转化。在高中数学教学中，通过数形结合思想方法的有效运用可以使学生在学习过程中轻松跨越障碍。数形结合思想通过“数中思形，以形助数”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质。

高中数学；数形结合；数学思想

所谓数形结合，就是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，把静态的数量与动态的图形结合起来，进行诠释、探究并最终解决问题。华罗庚曾说过：“数缺形少直观，形缺数难入微。”这句话深刻地揭示了数学中数与形之间的相互依存关系。数形结合是高中阶段重要的数学思想，将其贯彻于数学教学过程始终，是教好数学的关键之一。下面笔者通过实例，谈谈数形结合的思想在高中数学实践中的运用。

一、研究函数最值问题

例1 对a，b∈R，记，求函数f（x）＝max｛｜x＋1｜，｜x－2｜｝的最小值.

解：根据题意画出函数f（x）的图像，如图1，由图可知：函数f（x）在A点处取得最小值，点A可看成是两直线的交点，由方程组解得A点的坐标为，所以函数f（x）的最小值为.

图1

评注：通过数与形的转化分析，根据图形直观，将求函数最小值问题转化为求方程组的解.

二、研究参数的取值范围

例2 （2010年宁夏卷）已知函数f（x）＝若a，b，c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是 （ ）

A.（1，10） B.（5，6）

C.（10，12） D.（20，24）

解：不失一般性可设0＜a＜b＜c，因为f（a）＝f（b）＝f（c），并结合图2得0＜a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12，因为f（a）＝f（b），所以－lga＝lgb，lga＋lgb＝0，ab＝1，故abc＝c∈（10，12），选C.

图2

评注：数形结合是“数”与“形”的完美结合，充分体现了代数与几何的内在关系，解决问题时，我们既要考虑代数问题在“形”上的直观体现，也要考虑几何问题在“数”上的精准表达，这两方面相互结合，从而提高解题能力.

三、研究开放性问题

例3 （2012年福建卷）对于实数a和b，定义运算“”：设函数f（x）＝（2x－1）（x－1）且关于x的方程f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________.

图3

评注：开放性问题往往具有新颖性和一定的难度性，很多学生在解决此类问题时经常手足无措，如果能够正确理解题意并用图形直观的表示出问题条件中的代数关系，该类型问题就会“水落石出”.