计量经济学ARMA模型详细介绍

王琛文

（中山大学岭南学院，广州 510275）

计量经济学ARMA模型详细介绍

王琛文

（中山大学岭南学院，广州 510275）

ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，对于很多经济时间序列都可建立与其吻合度很高的ARMA模型。同时由于ARMA模型建模思路并不复杂，对于预测分析的初学者来说上手较快，所以在经济量化分析中被广泛使用。

ARMA模型；AR模型；MA模型

一、ARMA模型类型

（一）自回归（AR）模型

如果时间序列yt是它的前期值和随机项的线性函数，即可表示为：yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+ut，记为AR（p）。实参数φ1，φ2，…，φp称为自回归系数，是模型的待估参数。随机项ut是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、方差为的正态分布，随机项ut与滞后变量yt-1，yt-2，…，yt-p不相关。

记Bk为k步滞后算子，即：Bkyt=yt-k，则ARMA模型可以表示为：yt=φ1Byt+φ2B2yt+…+φpBpyt+ut；令φ（B）=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，模型可简写为：φ（B）yt=ut。AR（p）过程平稳的条件是滞后多项式φ（B）的根均在单位圆外，即φ（B）=0的根大于1。

（二）移动平均（MA）模型

如果时间序列yt是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即可表示为：yt=ut-θ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q，记为MA（q）。实参数θ1，θ2，…，θq为移动平均系数，是模型的待估参数。引入滞后算子，并令θ（B）=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq，则MA模型可简写为yt=θ（B）ut。

移动平均过程无条件平稳，但通常希望AR过程与MA过程能够互为可逆过程，因此要求滞后多项式θ（B）的根都在单位圆外，经推导可得

式中，π0=-1；B0=1；其他权重πj可递推得到。当序列满足平稳条件时，可改写为其中，φ0=1。

（三）自回归移动平均（ARMA）模型

如果时间序列yt是它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数，即可表示为：yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+utθ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q，记为ARMA（p，q）。其中，φ1，φ2，…，φp为自回归系数，θ1，θ2，…，θq为移动平均系数，均为待估参数。

AR模型和MA模型均为ARMA模型的特殊形式，即对于ARMA（p，q），若阶数q=0，则是自回归模型AR（p）；若阶数p=0，则成为移动平均模型MA（q）。

引入滞后算子B，该模型可简记为：φ（B）yt=θ（B）ut。

ARMA（p，q）过程的平稳条件是滞后多项式φ（B）的根均落在单位圆外，可逆条件是θ（B）的根都在单位圆外。可以证明，满足上述条件时，ARMA（p，q）模型等价于无穷阶的AR过程或者无穷阶的MA过程。

二、ARMA模型的识别

通常，使用时间序列u的自相关系数（AC）和偏自相关系数（PAC）去识别ARMA（p，q）模型。

对于AR（p）模型，其自相关系数随着滞后阶数的增加而呈现几何或震荡式衰减，而其偏自相关系数在p阶截止。

对于MA（q）模型，其自相关系数在q阶后截尾，其偏自相关系数随滞后阶数的增加呈现几何或震荡式衰减。

对于ARMA（p，q）模型，其自相关系数随着滞后阶数的增加而呈现几何式或震荡式衰减，并在q阶后趋于0，其偏自相关系数随着滞后阶数的增加而呈现几何式或震荡式衰减，并在p阶后趋于0。

在实际识别中，需注意：（1）对于不显著的ACF及PACF，可根据需要认为该系数为0；（2）对滞后阶数较大的孤立数值可不理会；（3）时间序列观察点的个数尽量取大一些。

三、ARMA模型的诊断

建立ARIMA模型后，需对其稳定性进行检验，常用的三种检验方法为：（1）特征根分布，模型的特征根应全部分布在单位圆外；（2）残差正态性，采用QQ-plot检验残差的正态性，若残差不满足正态分布，则说明模型存在偏差；（3）残差ACF和PACF，残差应为相互独立的白噪声序列。

四、ARMA模型的选择

当ARIMA模型通过诊断后，需要选择统计性质较好的模型。具体可选用的方法有：选择R方较高、参数统计性最显著的模型；选择AIC或BIC信息准则较小的模型；选择预测精度较高的模型。

五、ARMA模型建模流程

ARMA模型建模流程图

六、总结

ARMA模型对很多经济时间序列数据，如货币供应量、国民生产总值等，均有较好的预测精度，也是目前应用较为广泛的计量模型。同时，由于ARMA模型本身的形式和数学推导均不算复杂，也是预测分析初学者学习计量模型的最好选择之一。笔者在本文将ARMA模型的几种形式和使用方法进行了详细的介绍，希望对各位读者对此模型的掌握有所帮助。

[1]易丹辉.数据分析与Eviews应用[M].北京：中国人民大学出版社，2009.

[2]高铁梅.计量经济分析方法与建模——Eviews应用及实例[M].北京：清华大学出版社，2006.

[3]刘斌.应用计量经济学[M].北京：中国金融出版社，2010.

[责任编辑 刘娇娇]

F224

A

1673-291X（2017）21-0003-02

2017-02-07

王琛文（1995-），男，北京人，本科，从事金融量化分析与对外贸易研究。