数学研究性学习的课题开发浅探

严荣江

数学研究性学习课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者按数学思维方式对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。要充分体现学生的自主活动和合作活动。

数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑，主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。

数学研究性学习的课题的主要形式是数学开放题。无论是改造旧题，还是自创新题，编制数学开放题都要围绕使用开放题的目的进行，开放题应随着使用目的和对象的变化而变化，应作为常规问题的补充，在研究型课程中适合学生研究性学习的开放题应具备起点低、入口宽、可拓展性强的特点。

总之，数学研究性学习的课题设计的思考要遵循以下几点：

（1）课题要面向实际， 不宜搞空中楼阁；

（2）课题要小型短期， 不宜贪大求全；

（3）课题要难易适度， 不宜好高鹜远；

（4）课题要便于得到指导， 不宜孤军作战；

（5）课题要有认知基础， 不宜成“ 无源之水”；

（6）课题要结合学生兴趣特长， 不宜盲目跟随；

（7）课题要重视科学创新， 不宜老调重弹

中学的时候我们就学习了关于这一类问题的解题方法，下面我将结合大学有关知识，归纳解决知识探究型、学术研究型、社会调查型和创造发明型的方法。

一、知识探究型

知识探究型是研究课题中的最低层次。学生学到某一方面的知识， 在教师指定下拓宽学习范围， 获得学习体验， 甚至形成学习报告。学生在教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究并在研究过程中主动地获取知识，以解决问题的学习活动；探究型学习是通过学生尝试对问题解决的过程，来获取知识、提升能力、形成价值观的学习方式，强调对所学知识、技能的实际运用，注重学习的过程和学生的实践与体验。

1.求角

有一道小学智力竞赛问题：现有一个19°的模板（图3）请你设计一种办法只用这个模板和铅笔在纸上画出

1°的角来。

这个问题不少学生都会抓住19°×19=361°比360°多1°的特点机智地给出解答。

作为学生“会作了”一般就完事大吉了，很少有人能够深入地反思，因此放过了研究探索的契机。作为教师这时候应该不失时机地

发挥指导作用，引导学生去思索：

（1）现有一个17°的模板和铅笔你能否在纸上画出一个1°的角来？

（2）用一个21°的模板和铅笔你能否在纸上画出一个1°的角来？

对（1）（2）两问，如果能，请你简述画法步骤：如果不能。请你说明理由。

通过思索、讨论，学生可以小结，具有怎样整数度数的模板可以画出1°的角，哪些整数度数的模板不能画出1°的角。

于是问题的一般形式是：

请你设计一个“α°角模板”（ α°取15°～60°范围的整数度数），用这个模板可以画出1°的角来。

用数学语言表述为：是否存在整数x，y使得αx-180y=1

進一步一般化可得到定理：不定方程ax+by=c存在整数解（a、b为正整数，c为整数）的充分必要条件是d∣c，其中的d=（a，b）。

在这样的学习过程中，学生可以初步学会从数学角度去认识世界，解决实际问题，掌握数学的思维方法，得做研究、做数学的美妙感受。由此我们知道，数学研究性学习与传统的数学知识、方法的学习有着明显的区别。

2.线面垂直的判定定理：

设aα， bα，a ∩b = O ， l ⊥a ， l ⊥b ，则l⊥α.

在日常生活中，对线面垂直的感性认识是很多的。比如说，旗杆与地面、屋梁与墙面垂直等。那么如何来判定呢？让学生拿出准备好的三角形纸片，过定点A翻折该纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片放置在水平的桌面上（如图1），并请学生观察，折痕AD是否与桌面垂直？

如何翻折才能使得AD与桌面垂直呢？在动手操作的过程中，学生很容易发现：当且仅当折痕是BC边上的高时，翻折之后折痕才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2）。这又是为什么呢？课堂的教学自然而然地进入到了一个“数学问题”的研究：因为⊥BD且AD⊥DC，这样看来，似乎应有以下结论：AD应与桌面垂直。

那么能不能再退一步，即折痕AD与桌面上的一条直线垂直，能否保证AD垂直桌面？让学生再动手试一试。我们将折线展平并让它竖起来，就发现：尽管有AD⊥BD，但纸张并不能稳稳地竖立在桌面上，看来AD还要与平面上的DC垂直。

在学生自己的操作体验中，一个抽象的数学定理直观地展示在学生的面前，而不再是“从魔术师的帽子中突然蹦出一只兔子来”。

二、结语

对数学研究性学习的课题， 既要是学生所学数学知识的综合与实际应用， 又要对学生探究和解决问题有较好的训练价值。所以数学研究性学习的课题要遵循价值性、问题性、现实性、科学性和激趣性原则。

在实施数学研究性学习时，课题可以在课堂上或课外布置给学生，让学生在课后进行探究学习，收集信息资料做研究，可一人研究，也可以几人合作，教师可作适当的点拨指导，然后在课堂上进行交流，教师主要是做听众，也可发表意见、见解或提出疑问，不要追求结论的完美，要重视学生的参与过程。