识别题目特征 巧用解题方法

潘少华

本文对二元一次方程组的解题方法展开探究，为帮助学生提高二元一次方程组特征识别的能力，从而准确地选择适用的解题方法，对症下药，在解题中实现事半功倍的效果.

一、代入法

代入消元法是二元一次方程组进行消元的一种相对原始的方法，它是将方程组中的一个相对简单的二元一次方程用其中一个未知数表示另外一个未知数的新代数式，将新代数式代入原方程组中相对复杂的二元一次方程中，使其转化为一元一次方程的解题方法.

例1解方程组

（1）x-y=3①

4x+3y=47②（2）2x+y=3①

4x+5y=12②

解析对于第一个方程，可以利用整体代入法来解决问题：将①转换为x=y+3，然后代入②式，解得y=5，x=8.而对于第二个方程，它与方程组的特征2相符，所以可以利用代入法来解决问题：将②转换为2（2x+y）+3y=12，将2x+y=3代入其中，解得y=2，x=1/2.

代入法是二元一次方程组消元的有效手段，利用先转化后代入的方法即消去了一个未知数，方便运算.教师通过引导学生归纳出可以运用代入法的解题的两种方式，进一步帮助学生在独立解题时能在第一时间判断出解题的有效方法，提高了解题的效率.

二、加减法

加减消元法是解二元一次方程组技巧性相对较强的一种方法，它是以一个未知数为消元目标，将方程组中的一个二元一次方程针对这个目标“元”在等式两端同时乘以一个数，转化为与另一个二元一次方程同未知数系数或互为相反数的二元一次方程，最后进行加减运算消元.

例2解方程组

（1）2y-4x=2①

4x+3y=23②（2））3x+2y=3①

2x+3y=12②

解析对于第一个方程，可以直接利用加减法来解决问题：①+②得5y=25，解得y=5，x=2.同样第二个方程可以利用加减消元法来解决问题：①+②得5x+5y=25，化简得x+y=5③；将②③组成新的方程组，利用代入法来解题，解得x=-3，y=6.

加减法相对于代入法来说，解题过程更加的精炼，但是这必须建立在对方程组进行准确转化的基础上，因此教师应引导学生掌握识别方程特征的能力，起到透视本质的目的.

三、换元法

换元消元法是针对复杂的二元一次方程组进行消元的一种方法，解题思路是：在二元一次方程组中，将方程组中所包含的共有部分视为一个整体，并将其等同为一个新的未知数；将新的未知数带入到原方程组中，将原方程组转化为关于新未知数的新二元一次方程组，求解新的方程组，解出新的未知数；最后利用新的未知数与原方程的关系，求解原方程.

例3解方程组

（1）3x+y+2x-y=3①

9x+y+3x-y=6②（2）x4=y3①

2x+5y=23②

解析对于第一个方程组，①，②两式均包含了x+y，x-y两个相同的特征元素.它与方程组的特征情况a相符，所以可以利用换元法来解决问题：设1x+y=a，1x-y=b，原方程组可转化为：3a+2b=3③

9a+3b=6④利用加减消元法来解a=13，b=1，则1x+y=13，

1x-y=1，解得x=2，

y=1.

而第二个方程组的①式为比例形式，可以利用换元法来解决问题：设x4=y3=k，则x=4k，y=3k；代入②式中，得8k+15k=23，所以k=1.代入假设中，则x=4，y=3.

换元法的实质是将方程组中复杂的部分，用新的未知数替代，从而将复杂的运算化繁为简，避免了大量的计算过程.换元法一般应用于形式比较复杂的二元一次方程组的解题中.通过总结明确了换元法的题目特征后，在解题时思路自然清晰.

综上所述，学生只有在熟知方程组特性的基础上，才能在解题时“对症下药”，選择合适的方法，达到快速、准确的解题目的.教师要通过有效的练习，让学生掌握不同方程组的特性，分析运用解题方法的条件，灵活地应对题型的变式，只有这样才能充分的掌握二元一次方程组的解题方法，养成科学有效的数学思维，为今后的学习打下坚实的基础.2016年12月10日理科考试研究·物理版理科考试研究·