“帽子问题”及其衍生问题

司志本+张琪

“帽子问题”是大家比较熟悉的一道思维训练题.如果你阅读一些有关博弈论的书籍，那么你就会发现，博弈论中一些比较经典的问题与“帽子问题”是非常相似的，我们可以把这些问题视为“帽子问题”的衍生问题.经常思考一些这样的问题，对于训练我们的思维是十分有益的.

例1 帽子问题.

这是一个游戏，A、B、C三个人围坐在一起，主持人备有3顶红帽子和2顶白帽子.将其中的3顶帽子分别戴在这三个人的头上.每个人都能看见其他两个人头上的帽子，但看不见自己头上戴的帽子，并且也不知道剩余的2顶帽子的颜色.

主持人首先问A： “你戴的是什么颜色的帽子？” A回答说：“不知道.” 接着，主持人又问B同样的问题，B想了想之后，也回答说：“不知道.”主持人最后问C，C回答说：“在听了A、B的回答之后，我知道我戴的帽子是什么颜色了.” 请问C戴的是什么颜色的帽子？

分析 首先，不可能有两个人同时戴白帽子.例如，假设A 、B戴的都是白帽子，那么C不需要听取A、B的答案，就能够判断出自己戴的是红帽子；其次，不可能只有一个人戴白帽子.事实上，假如A戴的是白帽子，那么对于C来说，他看到的情况是：A戴白帽子，B戴红帽子，因为不可能有2人都戴白帽子，所以，C由此可以判断，自己戴的一定是红帽子.

上述的“帽子问题”也经常以下面的形式出现：

C、B、A三个人从前到后站成一列，主持人备有3顶红帽子，2顶白帽子，将其中的3顶帽子分别戴在这三个人的头上，他们都只能看见站在自己前面那些人的帽子.主持人首先问排在最后面的A： “你戴的是什么颜色的帽子？”A回答说：“不知道.” 接着，主持人又问B同样的问题，B也回答说：“不知道.”主持人最后问C. C回答说：“在听了A、B的回答之后，我知道我戴的帽子是什么颜色了.” 请问C戴的是什么颜色的帽子？

分析 站在最后边的A不知道自己所戴帽子的颜色，说明他前面的B和C所戴的帽子不都是白色的，否则，A就能够判断出自己戴的是红帽子了；此时，如果排在第一位的C戴的是白帽子，那么排在第二位的B根据A的回答，就可以判断自己戴的不是白帽子，而是红帽子；现在B也不知道自己帽子的颜色，这就说明C戴的不是白帽子.所以，C戴的帽子一定是紅色的.

“帽子问题”中的人数还可以增加.例如4个人的情况就是下面的问题：

有A、B、C、D四个人围坐在一起，主持人准备了4顶红帽子，3顶白帽子.将其中的4顶帽子分别给这四个人戴在头上.他们每个人都能看到别人的帽子，但看不到自己头上帽子的颜色.主持人对他们四个人说：“你们中间至少一个人戴的是红色帽子，你们知道自己头上帽子的颜色吗？”四个人都说不知道.主持人连续问了三次同样的问题，他们都说不知道.当主持人问到第四遍时，四个人同时回答说：知道了.请问，这四个人所戴帽子是什么颜色的？

分析 如果A、B、C、D这四个人中只有一个人的帽子是红色的，不妨假设A的帽子是红色的，那么A看见另外三个人的帽子都是白色的，此时，主持人第一次提问时，A就能判断出自己的帽子是红色的.主持人第一次提问时，四个人都回答说不知道自己帽子的颜色，这说明不止A一个人的帽子是红色的；如果只有两个人的帽子是红色的，不妨假设A和B的帽子是红色的，那么A和B两个人会看见一个人戴红帽子，两个人戴白帽子，进而判断出自己戴的是红帽子，在主持人第二次提问时，A和B就会给出答案.因此不可能只有两人戴红帽子；如果只有三个人的帽子是红色的，不妨假设A、B、C的帽子是红色的，那么A、B、C中任意两个人会看见两个人戴红帽子，一个人戴白帽子，由前面分析可知，不可能只有一个或两个人戴红帽子，所以，A、B、C可以判断出自己戴的是红帽子.主持人前三次提问时，四个人都说不知道.到这时，这四个人已经判断出他们的帽子都是红色的了，所以，当主持人第四次提问时，四个人同时回答说：知道了.他们四个人所戴的帽子都是红色的.

例2 脏脸问题.

“脏脸问题”是许多博弈论书上都提到的一个问题，最简单的情况是这样的：

一个房间里有三个人，三个人的脸都是脏的，他们都知道别人的脸是脏的，却不知道自己的脸是脏的.这时主持人走进来对他们说：“你们中间至少有一个人的脸是脏的.”这三个人听完之后，互相看看，没有任何反应；主持人见他们这样，又继续提醒道：“你们知道吗？”这时三个人又相互打量起来；当主持人第三次提醒时，他们突然都意识到自己的脸是脏的.三个人的脸一下子都红了.

分析 如果三个人中只有一个人是脏脸，那么脏脸人看见另外两个人的脸都是干净的，此时，主持人第一次提醒时，脏脸人就会意识到自己的脸是脏的，他就会感到脸红.主持人第一次提醒后，三个人谁都没有脸红，这说明，不止一个人脸脏；如果只有两个人脸脏，那么脏脸的两个人会看见一张干净脸和一张脏脸，进而意识到自己的脸是脏的，当主持人第二次提醒时，这两个人就会脸红.因为主持人第二次提醒时，没有人脸红，这说明不只两个人的脸脏，所以，当主持人第三次提醒时，三个人的脸都红了.三个人的脸都是脏的.

例3 病狗问题.

大家都知道微软公司的面试是与众不同的，他们面试题大体上可以分为四类：第一类，快速估算题，测试你的快速反应能力；第二类，开放性思维题，考验你的逻辑推理能力；第三类，基础数学题，考核你的数学基础是否扎实；第四类，智力测试题，看你能否创造性地思考.下面的“病狗问题”就是微软公司的一道招聘试题：

一个大院子里住了50户人家，每家都养了一条狗，有一天他们接到通知说院子里有狗生病了，并要求所有主人在发现自己家狗生病的当天就要把狗枪杀掉.然而所有主人和他们的狗都不能够离开自己的房子，主人与主人之间也不能通过任何方式进行沟通，他们能做的只是通过窗户观察别人家的狗是否生病，从而判断自己的狗是否有病.第一天没有枪声，第二天还是没有枪声，第三天传出一阵枪声.问有多少条病狗被枪杀.

分析 如果只有1条狗是病狗，那么第一天这条病狗的主人发现另外的49条狗都是正常的，从而判断自己的狗是病狗.因此，第一天主人就应该把自己的狗给杀死.第一天没有枪声，说明至少有2条病狗.

如果只有2条病狗，那么第二天这2条病狗的主人只能看到1条病狗和48条没病的狗.因为病狗多于1条，所以，2条病狗的主人可以判断自己的狗是病狗，第二天应该把自己的狗给杀死.第二天没有枪声，说明至少有3条病狗.

如果有4条或4条以上的病狗，那么每个主人至少能够看到3条病狗.由于病狗的数量是不是3条无法确定，每个人也无法判定自己的狗是不是病狗，所以第三天就不会有枪声.

第三天传出枪声，说明只有3条病狗.