“问题”：数学探究的核心动力

曹爱华

摘 要：数学的学习过程是一个动态生成的过程，其核心是学生的自主探究促进知识体系的自我建构。在这一过程中，数学问题起着重要的作用：指向性的问题，引出探究方向；挑战性的问题，激发探究兴趣；递进式的问题，突破探究难点；开放性的问题，拓展探究空间。教者要准确抓住契机，巧妙设计问题，让“问题”成为数学探究的核心动力。

关键词：问题；探究；核心动力

笔者在南师附小听了贲友林老师的一节课，整节课贲老师只提了几个问题，就将整个课堂有效展开，探究目的明确，探究方式多元，探究过程高效，探究成果丰硕，令听课的教师很是震撼。这节课令笔者充分领略到数学问题对于学生探究的重要作用，经过笔者的实践与思考，有如下心得：

一、指向性的问题，引出探究方向

探究是有效数学课堂的关键因素，探究的有效展开需要明确的探究方向。学生顺利找到探究方向，是探究有效展开的基石。通过巧设指向性的问题，可以帮助学生把握研究的方向。

例如：贲友林老师教学《钉子板上的多边形》一课，在上课之始，抛出指向性问题帮助学生引出探究的方向：

师：钉子板上的多边形的面积可能和什么有关？

生1：与里面的钉子数有关。

生2：应该与边上的钉子数有关。

生3：我感觉和里面的钉子数、边上的钉子数都有关。

师：同学们有不同的观点，但是有一点是一致的，就是和钉子数有关，我们就来研究研究它的面积到底和哪些钉子有关，看这一组图形。

……

通过一个问题的抛出，利用学生的初步感知和生生之间的感知冲突，有效地引出了探究方向：钉子数（边上、内部、全部）和多边形面积的关系。自然、协调，水到渠成，为学生的进一步探究奠定了坚实的基础。

二、挑战性的问题，激发探究兴趣

问题的难易程度对于激发学生的探究兴趣有着重要作用，简单的问题并不利于激发学生的探究兴趣，具有挑战性的问题能让学生产生认知心理上的不平衡，能激发学生向着问题所指目标努力的心理驱动，这种强烈的心理暗示使得学生思维更加活跃，探究更加深入。

例如，在教学苏教版三年级《长方形的面积》时，有这样一个活动，用12个1平方厘米的正方形拼成一个长方形。学生拼得毫无兴趣。笔者适时改变了思路，提出一个问题：“你们能拼出几种不同的图形？能把所有情况都找出来吗？”学生的探究兴趣一下子激发出来了，有的学生大声喊出“能”。有的学生说：“老师，您等一下，先让我们摆一摆。”几分钟之后更是出现了激烈的争辩，有的说三种情况，有的说六种情况。双方分别说出了自己的道理，称有六种的同学说：“我是按照顺序摆的，可以摆成一排、两排、三排、四排、六排、十二排。”另一方说：“你是按顺序来的，可摆成一排和摆成十二排是一样的，都是长是12厘米，宽是1厘米，只是摆的方向不一样。”经过讨论，最终大家都认为是三种情况。

在上述案例中，从毫无兴趣到积极探究，再到激烈争辩，发生这一转变的关键就是一个问题的提出。一个具有挑战性的问题，激发了学生的探究欲望，促进了生生之间的思维碰撞。

三、递进式的问题，突破探究难点

“递进式的问题”就是在学生的认知过程中架设的不同“阶梯”，让它们循序渐进地攀登。它的本质是，让学生向最近的目标发展，逐步构建，自主生成，走可持续发展的道路。尤其是在学生进入探究困境时，直白的讲授效果往往不是很好，通过递进式的提问，引导学生经历自我否定和修正的过程，才能真正帮助学生走出困境，触类旁通。

例如：笔者在教学《数字与信息》这节课时，设计如下探究任务：给自己设计一个编号，可以在整个小学阶段使用，学号包含的信息有班级、性别、学号。学生初步尝试之后就提出班号、性别和学号可以表示出来，但是年级在不断变化，表示出来有困难。笔者提出如下问题：

师：“性别”你们是如何表示的？

生：我用“1”表示男生，用“2”表示女生。

师：你是怎么想到的呢？

生：因为刚刚学习的身份证号码中，单数表示男生，双数表示女生，所以就想到这样表示，我用两个数字表示更清楚。

师：确实这样更清楚。身份证号码可以用一生，给每位同学编号用六年应该也行吧？

生：身份证号码中的信息都是不变的，给同学编号，年级在不断变化。

师：身份证号码中只能看出不变的信息吗？能不能看出一些变化的信息？

（学生一番思索）

生：有，年龄可以看出来，年龄在不断变化。

师：从什么信息中可以看出年龄？

生：从出生日期可以看出，虽然年龄在不断变化，但是出生日期不会变化，可以推算出不断变化的年龄。

此时，就有学生喊道：“老师我会了，跟出生日期一样，我们进学校的日期放在前面就可以看出是几年级了。”有学生补充道：“不用日期，只要年份就可以了。”又有学生举手：“年份前面的20也可以不要了，省略不影响信息的表示，这样更简洁、更清晰。”

通过递进式问题架设桥梁，借助已有知识进行点拨，原本毫无头绪的问题迎刃而解。实际教学过程中，学生的探究经常会走入死胡同或者偏离正确的方向，学生会感到茫然无措。在这种情况下，帮助学生理清思路的核心是学生的自我否定、重新建构，教师巧妙设计递进式问题，是帮助学生从自我否定到重新建构的有效途径。

四、开放性的问题，拓展探究空间

开放性的问题促进数学思想方法的提炼和升华，更是数学思想方法拓展应用的有效驱动，有利于激发学生的探究兴趣，培养创造性思维。开放性的数学问题拓宽了探究空间，强化体验知识的产生与发展的过程，揭示了知识之间的联系及数学思想方法的实用性。

例如：筆者在教学《一一列举的策略》一课时，下课前提出了这样一个开放的问题：一一列举在什么地方还有运用，除了数学知识的学习会用到，在其他领域有没有运用呢？反馈的结果令人惊喜：

生1：在学习因数和倍数时，用一一列举找到了一个数所有的因数，用列举法找到了一个数倍数的特点。

生2：我爸爸给我讲数线段时，我就是列举一条一条的线段，没有做到一一列举，所以不成功。我爸爸给我讲了公式，但是我并不清楚公式的意思。昨天我通过一一列举，按顺序找出了所有线段，有了很多发现：（1）如果有n个端点，第一个端点可以引出（n-1）条线段，第二个端点可以引出（n-2）条线段，第三个端点可以引出（n-3）条线段，……倒数第二个端点可以引出1条线段，最后一个端点引出0条线段。所以线段总数就是（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+1。（2）我爸爸讲的公式是n×（n-1）÷2，我把两个公式对比之后想到了高斯小时候算1加到100的故事，这两个公式表示的意思是一样的。

生3：有一个“鸡兔同笼”问题，我一直没能做出来，通过一一列举，我把这个题目做出来了。

生4：生活当中也有一一列举。我家去年装修，我爸爸预算装修总价时就是一一列举了所有步骤的费用，然后算出总价的。我的房间买家具时，爸爸妈妈给我预选了两张床和三张书桌，让我看看有几种组合方式，每一种需要花多少钱，我也是用一一列举的方法解决的。

……

开放性的问题有问未必有答，即使有答，答案也并非是唯一的、标准化的。它可以让仁者见仁，智者见智，最大限度地调动学生的积极性，开放性的问题把学生的数学思维加深拓宽，提高了学生的创新意识和创新能力。开放性的问题，给学生提供了更大的舞台，让每个学生的数学才能可以发挥得淋漓尽致。

数学问题的类型不仅仅是这几种，作用更是多元的，要充分发挥数学问题的重要作用，需要更多的教学智慧。教者要树立正确的问题意识，准确抓住契机，巧妙设计问题，指引学生找到探究的方向、路径和策略，让“问题”成为数学探究的核心动力，驱动课堂的动态生成和课外的拓展探究。