混凝土矩形截面梁经济配筋率与造价探讨分析

刘相

（辽东学院城市建设学院，辽宁丹东118003）

【建筑与规划】

混凝土矩形截面梁经济配筋率与造价探讨分析

刘相

（辽东学院城市建设学院，辽宁丹东118003）

文章以钢筋混凝土单筋矩形截面梁为研究对象，在考虑材料价格的基础上以其单位长度的最低造价为目标函数。采用基于应变协调条件和钢筋混凝土梁正截面承载力的计算方法，利用拉格朗日函数推导出了经济配筋率的合理表达式。并在推导出的经济配筋率表达式的基础上，通过其在满足相应钢筋级别和混凝土强度等级所对应的最大与最小配筋率范围的约束条件下，给出了存在经济配筋率的前提下相应的钢筋价格与混凝土价格比值的范围，并且通过算例的计算分析来验证了文章提出的方法，可供工程人员参考。

钢筋混凝土梁；经济配筋率；拉格朗日函数；钢筋价格；混凝土价格

混凝土梁等受弯构件在结构工程中的应用相当普遍，并且占工程结构的比重也很大，其截面尺寸与配筋设计的合理与否对其结构造价的影响起到至关重要的作用。在选择截面时，除应当满足刚度要求外，适筋条件又显得非常重要。往往在实际工程中截面尺寸的选用只要满足ρmin≤ρ≤ρmax即可，这样配筋即使满足承载力等要求也有可能造成不必要的浪费，所以如何确定合理的截面尺寸即确定一个合适的配筋率使其总造价最经济就显得尤为重要。但经济配筋率是一个比较复杂问题，涉及很多因素比如结构形式、材料单价、施工条件等[2]。一般梁的经济配筋率约为0.6%~1.5%，当ρ在经济配筋率附近变动时对总造价影响不是很敏感，国内外相关的研究成果也不多[6]。本文采用以应变协调条件和混凝土梁正截面承载力计算方法为基础，运用高等数学中条件极值的知识在考虑材料价格等因素的条件下从Ps/Pc比值范围的角度去确定是否存在经济配筋率，即把材料价格引入配筋率中，更加符合工程实际。实际工程中即使浪费很小，积少成多可能对国家所造成的经济损失也是很大的，在勤俭节约的背景下，对研究钢筋混凝土梁的经济配筋率与造价分析的问题也是必要的。

1 经济配筋率ρE的确定

1.1 基本假定

⑴钢筋混凝土梁符合平截面假定；

⑵不考虑混凝土的抗拉强度，全部拉力由纵向受拉钢筋承担；

⑶混凝土受压时应力和应变成正比，钢筋受拉时应力和应变成正比；

⑷不考虑国民经济发展、施工条件等客观因素；

1.2 基本公式

由单筋矩形截面梁的应力应变简图可得相关计算公式：

式中[1]：M——弯矩设计值，kN·m；

fc——混凝土轴心抗压强度设计值，N/mm2；

fy——普通钢筋抗拉强度设计值，N/mm2；

As——受拉区纵向钢筋面积，mm2；

b——矩形截面的宽度；

h0——截面有效高度，h0=h-α；

α1——矩形应力图的应力与轴心受压强度设计值fc比值，当混凝土强度等级不超过C50时，α1取为1.0；

β——计算受压高度与实际受压高度的比值，当混凝土强度等级不超过C50时，β取为0.8；

Es——钢筋的弹性模量，×105N/mm2；

Ec——混凝土的弹性模量，×104N/mm2；

1.3 设计变量

在实际工程中，钢筋混凝土梁的配筋率没有考虑材料价格这一重要因素，其设计结果并不能保证设计费用最低，即不是相对最优方案。从工程实际应用出发，把材料价格引入了钢筋混凝土梁的配筋率中，即经济配筋率。经济配筋率作为衡量结构设计经济性的标准。其受诸多因素影响，比如结构形式、材料价格和施工条件等因素制约，其经济性在一定程度上只是相对的。本文为简化经济配筋率的计算，作了一些简化处理[3]：

⑴钢筋混凝土梁截面宽度b，一般实际工程中通常由构造要求确定，不作为设计变量。

⑵不考虑设置受压钢筋、弯起钢筋和箍筋的作用，即不将受压钢筋、弯起钢筋和箍筋作为设计变量。

⑶不考虑正常使用极限状态的影响，即不将其作为约束条件考虑。因为对于一般钢筋混凝土梁均能满足上述要求，且这样处理对结果影响不大，能使计算过程相对简化。

⑷为了进一步简化计算过程，减少设计变量，本文对梁的斜截面受弯承载力不作为约束条件来考虑，因为这一条件通常由构造措施来保证。

本文只考虑钢筋和混凝土价格以及钢筋和混凝土强度等级来构造目标函数，不考虑相应的措施费及模板等费用，如果考虑可分别合并为相应的综合费用：

式中，Ps——每t钢筋单价，×7.85元/m3；

Pc——混凝土单价，元/m3；

1.4 约束条件

⑴正截面受弯承载力的约束条件：

⑵最小配筋率的约束条件：

⑶最大配筋率的约束条件：

1.5 求解方法

将约束条件（1）和目标函数写成拉格朗日函数表达式为：

对上述拉格朗日函数求极小值得

由（3）得，

当ρ=ρe时，PE（ρ）最小。对于目标函数PE（ρ）而言，由于其表达式比较繁琐，通过分析可知在适筋率范围内递减和递增规律。则目标函数PE（ρ）可以看成由与pcba三项组成。bM值已知的情况下，即当Ps/Pc比值满足存在经济配筋率范围时，若钢筋级别越高，混凝土强度等级越低，fc/（2fy）越小，此时Ps/Pc比值越小第二项随ρ增大不明显，此时目标函数PE（ρ）随ρ增大变化不是很敏感；而1/fc越大，第一项随ρ减小明显，所以PE（ρ）随ρ减小变化相对敏感。若钢筋级别越低，混凝土强度等级越高，fc/（2fy）越大，此时Ps/Pc比值越大第二项随ρ增大明显；而1/fc越小，第一项随ρ减小不明显，所以PE（ρ）随ρ增大变化相对敏感。

将约束条件（2）和（3）联合得，

一般情况下Ps＞Pc，经计算分析可得，

一般当混凝土强度等级不超过C50时，则取α1=1.0，

β=0.8，则

表1 Ps/Pc计算表

续表1Ps/Pc计算表

根据上述公式（5）所计算出的不同级别钢筋与不同混凝土强度等级（≤C50）相组配的钢筋混凝土梁所对应的Ps/Pc取值范围见表1所示。其中若实际中Ps/Pc取值范围超出表1所示的取值范围时，这时就不存在经济配筋率。

2 算例

设钢筋混凝土矩形截面简支梁，M=220 kN·m， b=250mm，根据某地市场价格调查，钢筋单价的市场价格在（3000~4000）元/t之间波动、其中钢筋牌号分别有HPB300、HRB335、HRB400、HRB500四种。不同强度等级混凝土单价的市场价格波动范围见表2所示，α1=1.0，β=0.8，αs=35 mm，确定其经济配筋率。

表2 钢筋混凝土梁经济配筋率计算表

表2 钢筋混凝土梁经济配筋率计算表

先通过公式(5)计算或表1查出Ps/Pc存在经济配筋率的范围，若Ps/Pc值在存在经济配筋率的范围内，则根据本文推导出的公式(4)计算出的经济配筋率的结果见表2，本算例每种组配中分别给出了Ps（max）/Pc(max)、Ps(max)/Pc(min)、Ps(mid)/Pc(mid)、Ps(min)/Pc(max)、 Ps(min)/Pc(min)几种情况下，目标函数PE（ρ）随ρ变化规律见图2~图25。

图2 HPB300和C20组配

图3 HPB300和C25组配

图4 HPB300和C30组配

图5 HPB300和C35组配

图6 HPB300和C40组配

图7 HPB300和C45组配

图8 HPB300和C50组配

图9 HRB335和C20组配

图10 HRB335和C25组配

图11 HRB335和C30组配

图12 HRB335和C35组配

图13 HRB335和C40组配

图14 HRB335和C45组配

图15 HRB335和C50组配

图16 HRB400和C25组配

图18 HRB400和C35组配

图19 HRB400和C40组配

图20 HRB400和C45组配

图21 HRB400和C50组配

图24 HRB500和C45组配

图25 HRB500和C50组配

从本算例可以看出，钢筋级别越高，混凝土强度等级越低，Ps/Pc比值越小时，当ρ从ρe向ρmax波动时，造价变化相对不敏感，当ρ从ρe向ρmin波动时，造价变化越敏感；钢筋级别越低，混凝土强度等级越高，Ps/Pc比值越大时，当ρ从ρe向ρmax波动时，造价变化越敏感，当ρ从ρe向ρmin波动时，造价相对不敏感。这一规律与本文推导出的目标造价函数的分析规律相符合，说明推导公式的敏感性分析是合理的。

3 结语

（1）通过推导出经济配筋率ρe的公式可以看出，经济配筋率与钢筋弹性模量、混凝土弹性模量、钢筋价格、混凝土价格、钢筋抗拉强度设计值、混凝土轴心抗压强度设计值因素有关。在相同级别钢筋和混凝土强度等级的条件下，ρe值随着钢筋价格与混凝土价格比值的增大而逐渐减小；在Ps/Pc比值一定时，ρe值与fc/fy比值成反比关系。并通过算例验证了ρ=ρe时，目标函数造价PE最小。

（2）在最大配筋率和最小配筋率的约束条件下推导出的Ps/Pc范围可以看出，当钢筋级别相同时，随着混凝土强度等级的增加Ps/Pc最大与最小值都逐渐减小，即范围在缩小；钢筋级别越高，混凝土强度等级越低，Ps/Pc值越大。

（3）从目标函数表达式和算例图中可以看出，配筋率在经济配筋率ρe附近时，造价随配筋率的变动相对不是很敏感。钢筋级别越高，混凝土强度等级越低，ρs/ρc比值越小时，当ρ从ρe向ρmax波动时，造价变化相对不敏感；当ρ从ρe向ρmin波动时，造价变化越敏感；钢筋级别越低，混凝土强度等级越高，ρs/ρc比值越大时，当ρ从ρe向ρmax波动时，造价变化越敏感；当ρ从ρe向ρmin波动时，造价相对不敏感。所以从造价角度分析建议在存在ρe的情况下，钢筋级别越高，混凝土强度等级越低，ρs/ρc比值越小时，ρe≤ρ≤ρmax；钢筋级别越低，混凝土强度等级越高，Ps/Pc比值越大时，ρmin≤ρ≤ρe。

（4）通过本文算例可以看出有HRB400和C20组配，HRB500分别和C20、C25、C30组配时不存在经济配筋率，因为其Ps/Pc范围超出了表1所示存在经济配筋率的范围。这也说明了在实际工程中，基本上不会采用特别高级别钢筋和特别低强度等级混凝土相组配，以免造成不必要的浪费。

［1］中国工程建设标准化协会.GB50010-2010混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2010.

［2］周坚.钢筋混凝土与砌体结构[M].北京：清华大学出版社，2008.

［3］张靖静.钢筋混凝土受弯构件正截面设计优化分析[J].工业建筑，2005，35（2）：100-102.

［4］俞铭华，李庆贞.钢筋混凝土单筋梁优化设计[J].工业建筑，2000，30（8）：48-51.

［5］赵国藩.高等钢筋混凝土结构学[M].北京：机械工业出版社，2005.

［6］曹炜，成戎.钢筋混凝土梁的经济配筋率研究[J].建筑结构，2010，40（增刊）：424-425.

［7］同济大学应用数学系.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社出版社，2005.

［8］刘相.碳纤维布加固受损钢筋混凝土梁锚固方式的试验研究[J].辽东学院学报（自然科学版），2015，22（3）：204-211.

（责任编辑：龙海波）

Economical reinforcement ratio and cost of rectangular section reinforced concrete beams

LIUXiang

（School of Urban Construction，Eastern Liaoning University,Dandong 118003，China）

The reinforcement ratio and cost of single reinforcement rectangular section reinforced concrete beams were studied．The least unit length cost Was selected as the o~ective function by considering the material cost．According to the strain coordination conditions and the calculation methOd Of cross-sectional flexural bearing capacity of reinforced concrete beams，the expression of the economical reinforcement ratio Was derived with Lagrange function．Furthermore.under the constraint condition of the maximum and minimum reinforcement rmio that can meet the corresponding reinforcement grade and reinforced concrete strength，the range of the prices of reinforcement and reinforced concrete that meets the economical reinforcement ratio Was obtained．Finally，the method was verified bv an example．

reinforced concrete beams；economical reinforcement ratio；Lagrange function；steel price；concrete price

TU22.571

A

1673-4939（2017）02-0129-12

10.14168/j.issn.1673-4939.2017.02.11

2016-04-13

辽宁省教育厅科技研究项目资助（L2015187）；辽东学院青年基金项目（2016QN003）

刘相（1981-），男，辽宁丹东人，硕士，讲师，研究方向：结构加固与工程造价。