理赔相依风险模型下时间一致的均值-方差策略选择

杨鹏，张海蓉

(1. 西京学院理学院，陕西 西安 710123；2. 第四军医大学唐都医院心血管内科，陕西 西安 710038)

理赔相依风险模型下时间一致的均值-方差策略选择

在通货膨胀影响下，研究了一类理赔相依风险模型的，时间一致的最优策略选择问题。两种理赔的相依性通过一个共同的泊松过程来体现。为了减小风险，保险人可以进行再保险；为了增加财富，保险人可以在金融市场上进行投资。进行投资时，考虑了通货膨胀的影响，通货膨胀的影响是通过通货膨胀率对风险资产折算实现的。研究的目标是：保险人选择时间一致的最优再保险-投资策略，最大化终止时刻财富的均值，同时最小化终止时刻财富的方差。因为该问题是时间不一致的，从博弈论的视角对问题进行了求解。应用Hamilton-Jacobi-Bellman动态规划的方法，得到了时间一致的最优再保险-投资策略和相应值函数的显式解。最后通过数值计算，解释了一些保险市场模型参数对最优再保险策略影响，以及金融市场模型参数和通货膨胀模型参数对最优投资策略的影响。通过研究，可以指导投资者在通货膨胀的影响下进行合理投资，使自身财富最大而风险最小。

通货膨胀；均值-方差准则；再保险-投资；理赔相依；时间一致

诺贝尔经济奖获得者Markowitz在20世纪50年代，给出了著名的均值-方差投资策略选择问题。Markowitz均值-方差投资策略选择是用均值代表收益，方差代表风险，该问题的研究目标是：求得最优的策略使终止时刻财富的均值最大且方差最小。如今，很多学者在方法和金融模型上推广了均值-方差策略选择问题。文献[1]给出了利用线性二次控制理论，研究均值-方差策略选择问题的方法。文献[2]研究了带转移机制的均值-方差策略选择问题。文献[3]在保险风险模型中，研究了均值-方差策略选择问题。文献[4]研究了风险相依模型的均值-方差策略选择问题。文献[5]在资产负债管理，中研究了均值-方差策略选择问题。

在现实中很多情况下要求，一个策略在最初时刻最优，那么在之后的时刻也是最优的。在这样一种意义下，上面提到的策略是时间不一致策略。今天的偏好和明天的偏好可能不同，但是在很多情况下策略一致是一个基本的要求。Strotz在20世纪50年代首次提出时间一致性策略选择问题，他指出时间的不一致性可以通过事先占优(pre-commitment)的策略解决。Björk等在文献[6]中研究了马氏调制以及一般目标函数下，时间一致的策略选择问题。他们的求解方法是，通过寻找Nash平衡策略得到时间一致的策略。沿着文献[6]的方法，最近有很多学者研究时间一致的策略选择问题。文献[7]研究了经典保险风险模型在均值-方差准则下，时间一致的再保险-投资策略选择。文献[8]在金融市场中风险资产的价格满足Heston模型下，研究了时间一致的均值-方差策略选择问题。文献[9]把金融市场中风险资产满足的价格方程推广到CEV模型，也研究了时间一致的均值-方差策略选择问题。还有很多文献研究时间一致的策略选择问题，这里不再一一列举。

改革开放以来，中国经济得到了快速的发展。从2009年开始，中国的GDP总量已经跃居世界第2位。经济发展了，一方面国民的收入有了很大的提升，另一方面，通货膨胀也越来越突出。最近有一些学者开始关注，通货膨胀影响下的投资策略选择。文献[10]在通货膨胀影响下，研究了时间一致的均值-方差再保险-投资策略选择。文献[11]在通货膨胀影响下，研究了DC型养老金的最优投资问题。文献[12]在通货膨胀影响下，研究了最优消费-投资问题。目前，在通货膨胀影响下研究策略选择问题的文献还不多。

本文在通货膨胀影响下，研究了时间一致的再保险-投资策略选择。本文在保险市场中涉及到两种理赔业务，这两种理赔业务具有相依性。这种理赔业务的相依性，与文献[13]和文献[14]类似。文献[13]在理赔相依风险模型中，研究了最小化破产概率的最优超额损失再保险。文献[14]在理赔相依风险模型中，研究了最大化期望指数效用的最优比例再保险。本文在通货膨胀影响下，研究了理赔相依风险模型的，时间一致的最优再保险-投资策略选择问题。使用文献[6]中介绍的动态规划的方法，从博弈论的角度，得到了最优时间一致的再保险-投资策略。分析了通货膨胀因素以及其它一些模型参数对再保险、投资的影响。本文的主要贡献有以下3点：① 在理赔相依风险模型中，考虑了通货膨胀的影响。文献[13-14]没有考虑通货膨胀影响。② 通过动态规划的方法，研究了时间一致的再保险-投资策略。文献[13-14]的再保险-投资策略是时间不一致的。③ 分析了一些模型参数对最优再保险-投资策略的影响。特别是，分析了通货膨胀因素对投资策略的影响。

1 数理模型

本节介绍文中用到的连续时间保险-金融数理模型。文中的N1(t)，N2(t)和N(t)是3个相互独立的齐次泊松过程，它们的强度分别是是一个完备的、带流的概率空间，这里P是一个实值概率，流概率空间是满足通常条件的(也就是关于F是右连续的，关于P是完备的)，T是投资的终止时刻，满足T<∞。假设，概率空间包含下文中提到的所有随机变量和随机过程。在金融市场上进行投资时，不考虑交易费用和税收，所有资产都是无穷可分的，允许连续交易。下面首先给出再保险模型，然后给出金融市场模型，最后给出财富过程模型。

1.1 再保险模型

(1)

保险公司为了减少风险经常进行再保险，常见的再保险有比例再保险和超额损失再保险。本文研究的再保险方式是比例再保险，再保险水平为1-q1(t)和1-q2(t)，这里q1(t),q2(t)称为保险公司的自留额。当0≤q1(t)≤1，0≤q2(t)≤1时表示保险公司采取了再保险；当q1(t)>1，q2(t)>1表示保险公司购买了新业务。设θ为再保险公司的安全负载，再保险的保费按照期望值原理计算，因此再保险得保费为

(2)

这里

采取比例再保险后，保险公司的盈余Xq1,q2t变为

(3)

1.2 金融市场模型

最近，有一些学者研究通货膨胀对投资的影响。因此，本文也考虑了通货膨胀对投资的影响。与文献[15]类似，假设通货膨胀率是随机的，时刻t的价格为L(t)满足如下的随机微分方程:

(4)

其中υ,η为常数分别表示通货膨胀率的预期增长率和预期波动率，W2(t)是一维标准布朗运动。因为本文考虑通货膨胀对投资的影响，因此W1(t)和W2(t)应该具有相关关系，设它们的相关系数为ρ。 投资中考虑通货膨胀的影响方式有很多，具体可以参考文献[10-12]等。这里，我们采用下面的方式考虑通货膨胀对投资的影响：先考虑通货膨胀对风险资产进行折算，折算后的风险资产作为新的风险资产；然后，让投资者在折算后的风险资产上进行投资。文献[15]也采取了类似的方法。设折算后风险资产的价格为P1(t)=P(t)/L(t)，对P1(t)=P(t)/L(t)应用It得到P1(t)满足如下的随机微分方程

(5)

1.3 财富过程模型

以上面的再保险模型和金融市场模型为基础，本小节给出财富过程模型。设u(t)为时刻t在风险资产上投资的金额，则在无风险资产上投资的金额为Xπt-u(t)。这里Xπt为进行投资和再保险后保险公司的财富，π(t)=(q1(t),q2(t),u(t))。在任意时刻t，选择π(t)为控制变量，则考虑再保险和投资后，财富过程满足下面的随机微分方程

即

(6)

定义1 再保险-投资策略π(t)=(q1(t),q2(t),u(t))称为可行的，如果满足下列条件：

(i)q1(t),q2(t)和u(t)是关于F循序可测的，且它们是右连续左极限存在；

(iv) 随机微分方程(6)对于策略π(t)有唯一的强解。

所有可行的保险-投资策略记为Π。

2 时间一致的策略选择问题

在最优投资以及最优再保险-投资问题中，很多学者研究如下的最优化问题

(7)

本文研究时间一致策略选择问题。时间一致的策略满足下面3个条件：

(i) 对于时间点t，选择了最优策略π；

(ii) 假设对于时间点t之后的任意时间点s，选择了策略π；

(iii) 则对于投资者来说，在时间点s策略π是他的最优选择。

可见，投资者在时刻s选择策略π，则在之后的时间仍然选择策略π，且策略π是投资者的最优选择。在现实投资活动中，今天的偏好和明天的偏好可能不同，但是在很多情况下策略一致是一个基本的要求。因此需要研究当目标函数随着时间改变时的最优问题，得到时间一致的再保险-投资策略，对投资有很大的指导意义。和文献[9]等文献相似的，我们定义如下的目标函数

(8)

这里

为常数，表示保险人的风险厌恶程度。文献[9]指出时间一致的策略恰好等于平衡策略；通常的最优值函数等于平衡值函数。接下来，平衡策略π*和平衡值函数，我们就称之为最优时间一致的策略和最优值函数。最后给出时间一致策略(平衡策略)的严格定义。

则π*(t,x)称为时间一致策略(平衡策略)，相应的平衡值函数为V(t,x)=V(t,x,π*)。

3 验证定理和时间一致策略的求解

本节求解时间一致的再保险-投资策略和最优的值函数。先定义一个微分算子。对于任意的策略π∈Π，任意的函数φ(t,x)∈C1,2([0,T]×R)，微分算子定义如下

(9)

这里

分别表示φ(t,x)关于t的一阶偏导数，和关于x的一阶、二阶偏导数。

下面给出验证定理。

定理1(验证定理) 设F(t,x)，G(t,x)和H(t,x)定义在[0,T]×R上，它们关于t连续且可微，关于x二阶连续且可微。如果F，G和H满足下面的方程

和

则

(13)

π*(t)为时间一致的最优再保险-投资策略。

证明 本定理的证明是标准的，可参考文献[6]。

下面通过定理1，得到最优的时间一致再保险-投资策略，以及最优值函数的显式解。为了后面书写方面，首先定义一些记号。

为了证明下面的定理2，给出如下的引理1。

引理1 设A(q1,q2)满足下式

(18)

定理2对于财富过程(6)，最优的时间一致的投资策略为

最优的时间一致的再保险策略为

最优值函数为

在最优策略和终止时刻T下，财富过程的方差为

这里B(t)和n(t)分别满足(37)式和(38)式。

证明 本定理的证明分成2步。第1步，证明最优值函数满足(21)式。这里使用的方法如下：和文献[9]类似的，构造F(t,x)和G(t,x)分别满足下面的(25)式和(26)式，然后把F(t,x)和G(t,x)的表达式代入(9)式和(10)式，并结合引理1则可完成第1步证明；第2步，证明最优的时间一致的投资策略满足(19)式，最优的时间一致的再保险策略满足(20)式。

第1步和文献[9]类似的，根据(8)式和定理1，可以容易得到下式

上式变形，得

结合微分算子(9)式和(23)式，下面给出(10)式更明确的形式，如下

综合考虑盈余过程的结构和边界条件F(T,x)=x和G(T,x)=x，和文献[9]类似的，构造F(t,x)和G(t,x)的形式如下

对F(t,x),G(t,x)分别求偏导数，得到

把F(t,x),G(t,x)的表达式和(23)式，以及上面的各偏导数，代入(24)式化简后得

其中A(q1,q2)满足(18)式，B(u)定义如下

令两个偏导数为0，得到

B(u)求导数，令导数为0得到：

根据(30)式，可以得到

根据(33)式，可以得到

先求解(31)式和(34)式，得到

(36)式分别代入(32)式和(35)式，得到

所以最优值函数F(t,x)为

财富过程的方差为

第2步(36)式代入(29)式，可得(20)式；由于(1)式的限制，所以q*1(t)>0,q*2(t)>0。因此q*1(t),q*2(t)为最优策略。由(36)式有

4 数值计算

这一节通过一些数值计算，分析一些模型参数改变时对最优投资策略、最优再保险策略的影响。同时，分析通货膨胀因素对投资的影响。

4.1 最优投资策略

4.1.1 通货膨胀因素对最优投资策略的影响 先分析通货膨胀因素对最优投资策略的影响。根据(4)式，通货膨胀率价格L(t)满足的随机微分方程中，含有2个参数υ和η。金融市场和通货膨胀，通过相关系数ρ联系在一起。下面我们就通过3个例子分析通货膨胀参数υ，η和ρ对最优投资策略的影响。

图1 υ对最优投资策略的影响Fig.1 Effect ofυon the optimal investment strategy

从图1可以看到，最优投资策略是关于υ单调递减的函数。υ表示通货膨胀率的预期增长率，随着通货膨胀率的预期增长率的增大，投资者会把更多的资金投资在无风险资产上，以此增加财富。

例2 设μ=0.05,υ=0.02,ρ=0.1,σ=0.2,r=0.02,T=10,t=5,γ=0.1,η∈[0.1, 0.5]。根据(19)式计算最优投资策略u*(t)，图2给出了η对投资策略u*(t)的影响。

图2 η对最优投资策略的影响Fig.2 Effect ofηon the optimal investment strategy

从图2可以看到，最优投资策略是关于η单调递增的函数。η表示通货膨胀率的波动率，随着通货膨胀率的波动率的增加，投资者会把更多的资金投资到风险资产上。

例3 设μ=0.05,υ=0.02,r=0.02,σ=0.2,T=10,t=5,γ=0.1,η=0.2,ρ∈[-0.5, 0.5]。根据(19)式计算最优投资策略u*(t)，图3给出了ρ对投资策略u*(t)的影响。

图3 ρ对最优投资策略的影响Fig.3 Effect ofρon the optimal investment strategy

从图3可以看到，最优投资策略是关于ρ单调递增的函数。ρ表示风险资产和通货膨胀之间的相关系数，随着风险资产和通货膨胀之间的相关系增大，投资者会把更多的资金投资到风险资产，以此来对冲通货膨胀带来的资金贬值。

4.1.2 其它参数对最优投资策略的影响 下面分析金融市场其它参数对最优投资策略的影响。

图4 r对最优投资策略的影响Fig.4 Effect of ron the optimal investment strategy

从图4可以看到，最优投资策略是关于r单调递减的函数。r表示无风险资产的期望收益率，随着r的增大，投资者会把更多的资金投资到无风险资产，而不会冒风险进行投资。

从图5可以看到，最优投资策略是关于σ单调递减的函数。σ表示风险资产的波动率，随着风险资产的波动率增大，在风险资产上投资的不确定因素增大。因此保险人会减少在风险资产上投资的金额。

图5 σ对最优投资策略的影响Fig.5 Effect ofσon the optimal investment strategy

图6 γ对最优投资策略的影响Fig.6 Effect ofγon the optimal investment strategy

从图6可以看到，最优投资策略是关于γ单调递减的函数。γ表示保险人的风险厌恶参数，随着风险厌恶参数的增大，保险人会减少在风险资产上投资的金额。

图7 t对最优投资策略的影响Fig.7 Effect of ton the optimal investment strategy

从图7可以看到，最优投资策略是关于t单调递增的函数。这表明，在投资的终止时刻快来临时，保险人为了增加收入会把更多的资金投资到风险资产上。

图8 μ对最优投资策略的影响Fig.8 Effect ofμon the optimal investment strategy

从图8可以看到，最优投资策略是关于μ单调递增的函数。μ表示风险资产的期望收益率，随着风险资产的期望收益增大，保险人在风险资产上投资将获得更大的收益。因此保险人会增加在风险资产上投资的金额。

4.2 最优再保险策略

本小节分析一些模型参数对最优再保险策略的影响。

(20)式关于r求偏导数，得到

可见最优再保险策略是关于r单调递减的函数。这是因为，r是无风险资产的利率，随着r的增大，无风险资产的期望收入将增大，因此保险人从投资中获得更大的收入。因此，为了减少自身所承担的风险，保险人会减少自身的保留额，把更多风险转移到再保险者。

(20)式关于t求偏导数，得到

可见最优再保险策略是关于t单调递增的函数。这说明，随着投资终止时刻的来临，保险人会保留更多的保险业务。

最优再保险策略q*1(t),q*2(t)中都含有λ1,λ2,λ以及两种理赔额的一阶、二阶矩，这说明了两种保险业务之间的相依性。下面讨论相依性对最优再保险策略的影响。假设两种保险业务的理赔额的分布为别为

从图9可以看出，最优再保险策略是关于参数λ和λ2单调递减的函数，最优再保险策略是关于λ1单调递增的函数。这里λ,λ1和λ2代表期望理赔次数。随着期望理赔次数的增加，在两种相关的理赔业务中，保险人采取的再保险策略相反。图9中最优再保险策略q*2>1，表示保险公司采取了新的保险业务。

图9 λi对最优再保险策略的影响
Fig.9 Effect ofλion the optimal reinsurance strategy

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Time-consistentmean-variancestrategyselectionforclaimsdependentriskmodel

YANGPeng1，ZHANGHairong2

(1.SchoolofScience,XijingUniversity,Xi’an710123,China;2.DepartmentofCardiology,TangduHospitalofFourthMilitaryMedicalUniversity,Xi’an710038,China)

Under inflation influence, an optimal time-consistent strategy selection problem for claims dependent risk model is studied. The two claim number processes are correlated by a common Poisson process. The insurer can purchase reinsurance for reducing claims and invest its surplus in finance market for increasing wealth. In the process of investment, the effect of inflation is taken into account, and the effect of inflation is achieved through the conversion of the risk asset to the inflation rate. The objective of the insurer is to choose an optimal time-consistent reinsurance-investment strategy so as to maximize the expected terminal surplus while minimizing the variance of the terminal surplus. Since this problem is time-inconsistent, it is studied by placing the problem within a game theoretic framework. Applying Hamilton-Jacobi-Bellman dynamic programming approach, closed form solutions for the optimal reinsurance-investment strategy and the corresponding value functions are obtained. Finally, the influence of some insurance market model parameters on optimal reinsurance strategy is explained by numerical calculation, and the influence of financial market model parameters and inflation model parameters on optimal investment strategy are also given. Through this study, it can guide investors to make reasonable investment under the influence of inflation, so that their wealth is the largest and the smallest risk.

inflation; mean-variance criterion; reinsurance-investment; claims dependent; time-consistent

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.04.006

2016-05-06 基金项目：西京学院院科研基金(XJ160144)；陕西省教育厅科研计划项目(15JK2183)

杨鹏(1983年生), 男；研究方向：数理金融、保险精算；E-mail:yangpeng511@163.com

杨鹏1，张海蓉2

(1. 西京学院理学院，陕西 西安 710123；2. 第四军医大学唐都医院心血管内科，陕西 西安 710038)

O

A

0529-6579(2017)04-0028-10