把数学建模思想融入常微分方程课程中的探讨

屈红雁++杜润梅++徐文达

【摘要】常微分方程在各学科、各领域中有着广泛的应用，为提高学生的学习兴趣，我们探讨了如何把数学建模思想融入常微分课程中来，并介绍了两个应用案例.

【关键词】常微分方程；数学模型；建模

【基金项目】吉林省高教学会高教科研课题2016年度立项课题数学模型在大学数学教育中的应用研究（课题编号：JGJX2016D71）.

大学数学课程主要培养学生的逻辑思维能力以及运用所学的数学知识计算和证明数学问题.可是大部分学生会发现在面对实际问题时，他们还是不知道怎样利用数学知识去解决.同时，还会觉得数学知识枯燥乏味、高深难懂，逐渐就失去了学习数学的热情和钻研精神.这是大学数学课程中普遍存在的问题，而且也是大学数学教师迫切需要解决的问题.

数学建模是一个创造性的思维锻炼，它通过对实际问题进行分析，根据其内在规律，在一些必要的简化假设下转化成数学问题，进而通过数学方法来求解.把数学建模的思想融入大学数学课程中是一个行之有效的方法.一方面，通过数学建模能够使学生认识到实际问题和数学问题的联系，增加学习数学知识的兴趣；另一方面，在解决实际问题时，又必然要用到数学工具，从而增加学生学习数学知识的动力.很多大学数学教师都在探索如何将数学建模的思想融入大学数学课程中，以此调动学生学习数学的积极性.

常微分方程是大学数学课程中的一门与实际应用紧密联系的课程.常微分方程是由物理学、天文学、生物学、经济学等众多的自然科学和社会科学领域中的实际问题提出的，通过运用微积分的理论及计算方法来研究常微分方程的解及解具有的性质.虽然常微分方程在实际生活中具有广泛的应用，但是很多学生并不知道或者知之甚少，从而缺乏学习的动力和兴趣.因此，在常微分方程课程中融入数学建模思想是必要的，也是可行的.若能把数學建模思想融入常微分方程的教学中，那么学生能够深刻认识到所学知识的用途，提高学习热情，获得良好的教学效果.

一、一阶常微分方程的建模案例

程的解为

N（t）=N0ert，t>0.

值得注意的是这个模型有一定的局限性，即随着t的增加，人口数将以指数级增加，这是不现实的.出现这样的情况是因为没有考虑到环境容许的最大容量.但是这个模型可以描述某个地区短期的人口数量.事实上，这个模型与19世纪以前欧洲某些地区人口和迁往加拿大的欧洲移民人口都大致吻合.

二、常微分方程稳定性理论的应用举例

在某些实际问题中，若关注的焦点不是每一时刻的状态，而是当时间充分长以后的状态时，我们不需要求解问题，而可以利用常微分方程稳定性理论，直接研究解在很长时间以后的状态的稳定性即可.

渔业是可再生资源，渔场主应当在持续稳产的前提下追求最大效益，这就需要控制捕捞量.捕捞量过大，鱼量将持续减少，不利于长期发展；捕捞量过少，渔场主的效益不好，甚至亏本.因此，我们需要通过建立模型确定合适的捕捞量.

常微分方程在很多问题上都有重要的应用，但是在课堂上选取案例的时候，还应该注意以下几点：1.所选案例不能过于复杂，只要学生能体会到常微分方程的应用即可，否则容易喧宾夺主，影响正常的教学进度；2.所选案例要有实际应用的背景，贴近生活，通过模型假设和分析将实际问题转化为常微分方程问题，将常微分方程与实际生活紧密联系起来，能够增加学生学习常微分方程课程的兴趣；3.在讲解案例时，可以适当应用数学软件和画图软件，使学生对微分方程的理论有更直观的认识，加深学生对常微分方程知识的理解.