基于自助餐定价问题的数学表述

段玉洁

摘 要：自助餐，起源于公元8世纪-11世纪北欧的“斯堪的纳维亚式餐前冷食”和“亨联早餐”。自助餐是一种由宾客自行挑选、拿取或自烹自食，餐厅提供简单服务的就餐形式。自助餐进入中国餐饮市场后，发展迅速，已成为一种时尚饮食文化。尤其因为自由、休闲的饮食方式受到大家的追捧。

但随着生活水平的提高、服务能力的增强和自助攻略的出现，自助餐的营销能力明显下滑。作为如今生活中，比较流行的一种餐饮方式，伴随着自助餐“柠檬化”市场的“非柠檬化”，自助餐的经营问题引起人们的关注。

我们从自助餐的成本与销售量两个角度来分析问题，从经济学的角度与自身模型合理的假设，推导出成本与价格、销售量与价格之间的函数表达式。再利用极值的概念去求解出价格的合理取值与较合理的取值范围。

我们利用随机过程中的求解随机变量均值的方法加上大数定律，制定出市场中均衡时的自助餐价格。由于考虑到不同城市消费水平不一致，所以在成本低于市场平均消费水平时，价格波动趋势要小于成本的波动趋势；成本高于市场平均消费水平时，价格波动也会较缓慢。而高于平均市场价格的价格幅度即体现了不同城市消费水平的不同。

关键词：成本；销售量；消费水平

一、问题背景

自助餐因菜品的多样化、酒水供给充足、环境优雅等上好的条件，再加上经济划算，受到了人们的欢迎。但很多想开自助餐厅的朋友，对定价问题感到甚是苦恼，觉得不知道怎么定价比较合适。

自助餐作为一种薄利多销的餐饮方式，如何合理地定制价格就显得尤为重要。如果价格定制的太低，虽然会吸引來不少的顾客，但由于成本的问题会导致店家无法正常运营；同样的，如果价格定制的太高，会导致客流量较少，而自助餐饮业获利的主要方式就是靠人气。

既使得商家觉得有利可图、存有商机；又使得消费者觉得物美低廉、有消费的欲望，只有给自助餐定合理的价格才有实现这种共赢的可能。

二、问题求解

1.确定成本与价格之间的关系

由问题分析中的内容我们知道，成本与价格之间的关系由成本与自助餐市场平均消费价格的大小来决定，所以我们要首先确定自助餐市场的平均消费价格。

（1）计算自助餐市场的平均消费价格（P）

A.假设菜品共有n种，就餐的人共有m人，另Xi（j）表示第i个人对第j种菜品的摄入量，这是一个随机变量。虽然对于每个人来说，在选取菜品之前，对各种菜品的偏好是已知的。但由于店家在对自助餐定价时，是不可能完全了解每个人的饮食喜好的，所以消费者对各种菜品的摄取量都可看作是随机的。这样组成了一个可测空间。

在计算每个人的花费均值时，某种菜的价格对自助餐价格的贡献度可以用该种菜的价格占所有菜品总价格的比例来刻画。在可测空间内引入概率这一测度后，转化为一个样本空间。此时的样本空间（ ）为全部样本点的集合，即m个人对种菜存在的全部可能摄取情况。

至此，求解自助餐的平均消费价格问题可以转化为求随机变量的均值问题。

对于任意i，j都满足 。以第一个人为例，求随机过程 的数学期望，求出的这个值表示在第一个人吃自助餐时的定价E（X1）。

其中：V（i）表示第i种菜品的成本； 表示自助餐厅全部菜品的总成本

B.对单个人的定价情况。但是，针对不同的消费者来说，他们的饮食喜好与摄入量的多少都是不同的，而且不同消费者在确定价格时都是不相关的。所以，通过上述结论，对不同消费者来说，我们得到一组确定的价格 。

由于满足大数定律，得自助餐厅的平均消费价格P为：

（2）确定成本与价格之间的近似函数

当成本小于市场平均消费价格时，因变量相比自变量变化更陡峭；当成本大于市场平均消费价格时，因变量相比自变量变化更平缓。在平均消费价格周围，这是一个典型的凹函数图像。

由专业知识我们知道，多项式函数可以去逼近任意函数，所以我们近似用多项式函数去刻画成本与价格之间的关系。

设为：

根据我们分析的内容，我们可以知道在P=P处，函数与P=C这条线最远。在这里，我们为了简化处理问题，记 ，其中α表示的意思为当收入增加一单位时，消费增加的单位数。收入增加的越多，α就越小。我们用收入增加多这一指标来刻画城市较发达，进而愿意支付的自助餐价格也较高，即P值不同，且多支付的部分即为自助餐的价格与1—α的乘积。

至此，我们得到另外两个条件：①函数在P=P处的 最大，且 ②函数在P=P的导数值为1

解之得：

故：

2.确定销售量与成本之间的关系

分析了内蒙古某地方自助餐厅的实际数据，得到销售量与价格之间的关系如下图所示。

利用matlab软件进行了数据拟合，得到最优的函数关系为：

得到的数学表达式也通过了严格的统计学检验。

由经典经济学内容可知，销售量与价格成反比。通过查阅文献资料，发现销售量与价格之间的关系用一元二次函数来刻画更为贴切，即设：

联立得：

对利润函数求导，得：

其中：

即所求价格便为自助餐定价的合理价格。

参考文献：

徐迅.杭州环西湖四星级酒店自助餐经营模式探索与实践[J].商业文化（上半月），2012，（01）：70-71.