抽样分布定理的简单证明与注记

梁小林, 曾翠英, 黄创霞

(长沙理工大学 数学与统计学院, 湖南 长沙, 410114)

抽样分布定理的简单证明与注记

梁小林, 曾翠英, 黄创霞

(长沙理工大学 数学与统计学院, 湖南 长沙, 410114)

利用协方差与正态分布的性质给出了样本均值与样本方差独立性的一个简单证明, 得到了正态总体下样本均值与样本方差的分布, 并对其直观意义进行了解释。

样本均值; 样本方差; 正态总体; 抽样分布。

正态总体的抽样分布定理和相关结论是数理统计中的重要内容, 但国内大部分《概率论与数理统计》教材仅仅给出定理的结论[1–2]。某些教材给出了证明[3–4], 但由于要利用正交变换[5–6], 学生很难理解, 其难点在于: (1) 明显有关, 为什么相互独立? (2) 明显是n个的平方和, 为什么自由度是n-1?有学者注意到了这个问题, 如胡必锦[7]利用正交变换化二次型为标准型的方法构造正交矩阵, 给出了抽样分布定理的证明, 刘文丽等[8]利用数学归纳法对抽样分布定理进行了证明。另有一些学者从不同的角度给出了证明[9–10], 但上述证明较为复杂, 且很少给出直观解释。本文利用协方差与正态分布的性质, 给出了抽样分布定理的直接证明, 并对相关结论的直观意义给出了合理的解释。

1 引理与定理

2 注记

引理2的注记: 必要性的证明虽然比较繁琐, 但方法是直接的。而且由于X与Y相互独立, 直观上可理解为, 其中相互独立且均服从N(0,1), 于是。

定理1的注记: 独立性的解释同引理1的注记。从定理的证明过程可知, (n-1)S2/σ2=χ2(n)-χ2(1),因此(n-1)S2/σ2是自由度为n-1的χ2分布。

3 结语

本文对抽样分布定理给出了一个简单直接的证明, 并对相关结论给出了直观解释,本文的研究结果不仅便于数理统计的教学, 而且有利于学生理解抽样分布定理的本质, 为学生学习统计学的基本内容打下坚实的基础。

[1] 峁诗松, 程依明, 濮晓龙. 概率论与数理统计教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004: 269–277.

[2] 梁小林, 温建宁. 概率论与数理统计[M]. 上海: 上海交大出版社, 2016: 131–135.

[3] 梁之舜, 邓集贤, 杨维权, 等. 概率论与数理统计(下)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1980: 16–30.

[4] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2008: 143–153.

[5] 同济大学数学系. 线性代数[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社, 2014: 111–134.

[6] Sheldon Axler. Linear algebra done right [M]. 3rd Edition. New York: Springer International Publishing, 2015: 163–180.

[7] 胡必锦. 关于抽样分布定理证明的注[J]. 重庆交通学院学报, 2005, 24(4): 165–166.

[8] 刘文丽, 吕书龙, 梁飞豹. 关于正态总体抽样分布定理的证明和思考[J]. 宁德师专学报(自然科学版), 2011, 23(1):8–10.

[9] 王国华, 徐标, 安佰玲. 单正态总体下抽样分布的一个证明[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版), 2014, 35(2): 74–77.

[10] 张荣基, 张树美. 抽样分布定理的推广[J]. 河北科技大学学报, 1999, 20(4): 36–39.

(责任编校: 刘刚毅)

A simple proof and remark of sample distribution theorem

Liang Xiaolin, Zeng Cuiying, Huang Chuangxia
(School of Mathematics and Statistics, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China)

The sample distribution theorem from normal population is an important content of mathematical statistics.The independence of sample mean and sample variance are simply proved by using the properties of covariance and normal distribution. Distributions of sample mean and sample variance with normal population are obtained, and some direct significances are illustrated.

sample mean; sample variance; normal population; sample distribution

O 212.4

: A

1672–6146(2017)03–0020–02

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.03.005

梁小林, lxlin1234@126.com。

: 2016–11–25

长沙理工大学重点课程(KC201503); 长沙理工大学大学生创新性项目(KC201501)。