扭摆法和振簧法测量内耗振幅效应的修正公式

方前锋， 王 辉， 王先平，王 理，庄 重

（1.中国科学院固体物理研究所内耗与固体缺陷实验室，安徽 合肥 230031；2.中国核动力研究设计院反应堆燃料与材料重点实验室，四川 成都 610041；3.苏州丹平格仪器有限公司，江苏 苏州 215000）

扭摆法和振簧法测量内耗振幅效应的修正公式

方前锋1，3， 王 辉2， 王先平1，3，王 理2，庄 重1，3

（1.中国科学院固体物理研究所内耗与固体缺陷实验室，安徽 合肥 230031；2.中国核动力研究设计院反应堆燃料与材料重点实验室，四川 成都 610041；3.苏州丹平格仪器有限公司，江苏 苏州 215000）

传统的内耗测量规范多采用扭摆法和振簧法，并没有涉及内耗随应变振幅变化的情况。为更加准确测量材料在不同应变振幅下的内耗和模量值，该文根据不同内耗测量方法中试样的应力分布情况，从内耗基本定义出发，考虑内耗随应变振幅变化的情况，重新推演扭摆法和振簧法测量内耗和模量的基本方程，获得采用扭摆法和振簧法测量内耗（模量）-振幅曲线的修正公式，为准确测量大应变振幅激发情形下高阻尼材料的内耗和模量提供参考。

内耗测量技术；葛氏摆；振簧法；内耗振幅效应

0 引 言

内耗技术可以应用于凝聚态物理和材料科学的相关研究中，提供其他实验手段不易得到的有用信息[1]。目前应用最广泛的内耗测量技术当属扭摆-葛氏摆，经历了从正摆到倒摆，再到自动化和高分辨率的发展历程。声频内耗测量技术（包括悬臂梁法和振簧法）也应用广泛，特别适合于弹性模量的精确测量。但是，传统的内耗测量规范没有涉及内耗随应变振幅变化的情况。在某些情况下（如大应变振幅激发以及高阻尼材料），内耗和模量值往往强烈依赖于试样振动的应变（或应力）振幅，此时必须对传统内耗（模量）测量规范进行修正。本文根据扭摆法和振簧法中试样的应力分布情况，推导出了测量内耗（模量）-振幅曲线的修正公式，为精确测量不同应变振幅下的内耗和模量提供了新的规范。

1 低频扭摆——葛氏摆

葛氏摆基本原理[2-3]是，令一根连接扭转杆的金属丝状试样作自由扭转振动，分别测量振幅对数减缩量和振动频率就可以测出它的内耗和切变模量。所采用的内耗量度Q-1是振幅对数减缩量的1/π；而切变模量G与振动频率f的平方成正比。由于待测试样在空间分布上位于激发装置和动摆杆的正上方，所以称为正摆。利用该装置可以方便地测量试样的内耗和动态切变模量随温度的变化、在恒应力下的蠕变（包括弹性后效）和在恒应变下的应力弛豫等滞弹性行为。

为了解决正摆不方便实现真空和低温条件，以及在高温下试样因受到动摆杆的重力作用而容易发生蠕变等问题，研究者将试样放在最下面（即把正摆倒置），同时配置砝码以平衡动摆杆的重力，而设计出“倒扭摆”装置。倒扭摆具有比正摆更高的稳定性和可操作性，经过不断完善最终发展为现代多功能内耗仪[4-5]。

如图1所示，测量内耗时，由计算机17发生一个正弦波激发信号，经过放大后送至激发线圈9，产生一个交变的电磁力矩，作用于摆杆上方的永磁铁10。该力矩通过摆杆5使得试样4按正弦波规律发生扭转运动。反射镜6将该扭转振动信号通过光源1发出的激光传送给光电位移转换器14，光信号被转换为电信号。在用强迫振动模式测量内耗时，摆杆扭转的正弦信号与信号发生器产生的激发正弦信号进行比较，可以得到这两个信号的相角差θ。如果周期性外力的频率f远小于系统的共振频率fr，则试样的内耗值近似等于tanθ。在自由衰减模式下，由计算机17发出命令，使样品扭转至设定的最大振幅处，然后由样品作自由衰减运动。此时，内耗Q-1=δ/π，其中δ是振幅对数减缩量。自由衰减模式一般用于测量较小的内耗值。

图1 多功能内耗仪原理图和试样振动时的应变分布示意图

应该指出的是，上述内耗测量规范中，并没有考虑内耗的振幅效应，即试样的内耗大小与测量内耗所用交变应力（或应变）振幅有关。在有些情况下（如大应变振幅激发[6]以及高阻尼材料[7]），内耗往往是依赖于试样振动的应变（或应力）振幅的。此时传统的内耗测量规范将带来很大的误差，必须进行修正。

设试样表面应变振幅为ε0时所测量的内耗为（ε0），切变模量为 Gm（ε0），它们应该是试样本征内耗和模量 Q-1（ε）和 G（ε）在应变振幅为 0～ε0时的加权平均值。为了求出此平均值，可以从内耗的基本定义式出发：

式中ΔW和W分别是试样在一个振动周期内（相位角2π）所消耗的能量和最大弹性储能，先求出ΔW和W的平均值，然后根据式（1）以及下式求出Q-1（ε）和G（ε）：

其中V为试样体积，V=Lπa2。

式中G（ε）为切变模量（或储能模量）。

因此，试样的总储能为

在传统内耗测量规范的情况下，假设切变模量与振幅无关，把此时的切变模量记为Gm（ε0），即是所测量的试样切变模量。代入式（4），可得：

比较式（4）和式（5），可以得到所测量的试样切变模量与试样本征切变模量之间的关系为

两边对 ε0求导，并乘以 ε0/4，有：

将式（6）代入式（7）式，整理可得：

另一方面，这部分试样的能量损耗dΔW为

其中第一个等号是根据内耗的基本定义得到的。

设 G′（ε）=G（ε）Q-1（ε），它也被称为损耗模量。

那么，试样的总能量损耗为

与储能模量的情况类似，可以得到所测量的试样损耗模量与试样本征损耗模量之间的关系为

2 声频测量技术

声频内耗测量技术，主要包括悬臂梁法和振簧法，在低频扭摆技术应用于内耗测量前是主要的内耗测量技术，目前仍在广泛使用，特别适合于弹性模量的精确测量。一般来说，悬臂梁法的工作频率在1kHz范围，而振簧法在100Hz范围。其工作原理是利用静电或电磁激发方式使试样在共振频率下振动起来，然后撤去激发力使试样做自由衰减振动。下面以中国科学院固体物理研究所研制的薄膜内耗仪为例说明振簧法测量内耗的基本原理（如图2所示）。

该仪器的原理如下：片状试样（厚度：0.1～0.3mm；宽：4～6mm；长：15～50mm）的一端自由，另一端固定在夹头上。试样的起振采用静电激发，在试样上施加较大偏压的同时，施加交变激励电压激发样品振动。施加偏压不仅使信号频率与作用在试样上的激发力的频率保持一致，而且可以提高激发力。在试样振动过程中，采用电容法（通过测量样品和接收电极之间的电容）来检测样品的位移量。当样品同接收电极之间的距离改变时，电容就会发生改变，流过电容的电流正比于电容大小，经过接收电路放大后，就产生位移信号。该信号经放大后，再加到激发电极上，形成正反馈，使样品产生自激振荡，振动频率就是样品的共振频率。由自动振幅控制电路控制正反馈量，使样品按设定的振幅进行等幅振动。当进入测量状态时，由计算机发出命令，撤除激发电压，样品振动开始自由衰减，由振幅衰减曲线可以测量试样的共振频率（杨氏模量）和内耗。

图2 薄膜内耗仪原理图和试样振动时的应变分布示意图

薄膜内耗仪不仅可以测量薄片状试样的内耗和杨氏模量，还可以测量附着于薄片衬底之上的薄膜试样的内耗和杨氏模量[8-10]。此外，在声频测量技术的基础上，通过建立合适的模型，也可以准确地测量出附着于衬底之上的液体材料的内耗和模量[11-12]。

对离开试样中心线y的薄层dy，该部分试样的体积是dV=Lbdy（其中L和b分别是试样的长度和宽度），其耗能和储能分别为

其中z=y/d。

按照与试样扭转振动时类似的分析方法和步骤，设试样表面应变振幅为ε0时所测量的内耗和杨氏模量为（ε0）和 Em（ε0），它们与试样本征内耗和杨氏模量 Q-1（ε0）和 E（ε0）之间的关系为

3 有振幅效应时内耗和模量的新测量规范

在实际被测样品中，应力（或应变）都有一定的分布，因此测量到的内耗值只能近似看作为某一振幅范围内的平均值。导致测量的内耗-应变振幅曲线与试样本征值出现较大差异。从式（13）、式（14）和式（18）、式（19）可见，该差异与应变振幅和内耗对应变振幅的导数之积成正比。

下面通过2个具体的例子来说明有振幅效应时内耗和模量的新测量规范。第1个例子是采用多功能内耗仪在室温测量镁的内耗振幅曲线，测量模式为强迫振动模式，结果如图3所示。可见，随着测量应变振幅的增加，内耗单调上升，相对模量单调下降。根据式（12）～式（14）对数据进行处理，得到试样本征内耗和相对切变模量。可见，试样本征内耗明显高于测量内耗，而且随着应变振幅增加，该差异值增大，在应变振幅为10-3时，试样本征内耗高出测量内耗达20%。同样地，试样本征模量低于测量值，而且随着应变振幅增加，该差异增大，但不超过1%。

第2个例子是采用多功能内耗仪在室温测量Fe-Cr基高阻尼合金的内耗振幅曲线，测量模式为强迫振动模式，测量得到的内耗和相对切变模量结果如图4所示。可见，随着测量应变振幅的增加，内耗先上升后下降，在应变振幅为3.4×10-4时出现内耗峰，峰值高达0.076，而相对模量随振幅的变化趋势与内耗的相反，但变化幅度相对较小。根据式（12）～式（14）对数据进行处理，得到试样本征内耗和相对切变模量。可见，试样本征内耗在内耗峰的低振幅端明显高于测量内耗（在应变振幅为10-4时，高出测量内耗50%），而在高振幅端明显低于测量内耗，导致本征内耗峰位置从测量的3.4×10-4移到较低的应变振幅2.8×10-4，峰值也增加到0.081。试样本征模量的情况类似，但总体来说，试样本征模量与测量模量的偏差较小，不高于2%。

图3 纯Mg在室温、1Hz时测量与本征的内耗、模量-振幅曲线

图4 Fe-Cr基高阻尼材料在室温、1Hz时测量与本征的内耗、模量-振幅曲线

4 结束语

根据以上分析，提出内耗和模量振幅曲线的测量规范如下：

1）采用强迫振动模式（多功能内耗仪），用不同的试样表面应变振幅去激发试样，获得一定应变振幅范围内试样的内耗和相对切变模量对振幅的曲线Q-1m（ε0）和 Gm（ε0）。

2）或者在小内耗情况下采用自由衰减模式（多功能内耗仪或声频内耗仪），将试样激发到最大应变振幅后，去除外加激发力，得到试样的应变衰减曲线。取一小段应变衰减曲线（包含2～3个振动周期为宜），按照文献[5]给出的全谱拟合方法，可以计算出对应于这一小段曲线平均应变振幅的试样内耗和模量的测量值。逐步移动这一小段曲线的选取位置，就可以获得试样内耗和相对切变模量（多功能内耗仪）或杨氏模量（声频内耗仪）对振幅的曲线（ε0）和 Gm（ε0）或 Em（ε0）。

3）最后，根据本文中的式（12）～式（14）（多功能内耗仪）或式（17）～式（19）（声频内耗仪），计算出试样本征内耗和相对切变模量（多功能内耗仪）或杨氏模量（声频内耗仪）对振幅的曲线 Q-1（ε）和 G（ε）或 E（ε）。

因此，只要按照传统的内耗测量规范，采用扭摆法得到了试样的内耗（切变模量）对表面应变振幅的曲线，或者采用振簧法和悬臂粱法得到了试样的内耗（杨氏模量）对表面应变振幅的曲线，就可以根据修正式（12）～式（14）或式（17）～式（19）分别计算出试样的本征内耗（切变模量、杨氏模量）-振幅曲线。

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（编辑：莫婕）

Modification formulas for strain-amplitude dependent internal friction measurement with torsion pendulum and vibration reed methods

FANG Qianfeng1，3，WANG Hui2，WANG Xianping1，3，WANG Li2，ZHUANG Zhong1，3
（1.Laboratory of Internal Friction&Defects in Solids，Institute of Solid State Physics，Chinese Academy of Sciences，Hefei 230031，China；2.National Key Laboratory for Nuclear Fuel and Materials，Nuclear Power Institute of China，Chengdu 610041，China；3.Suzhou Damping Instruments Company Limited，Suzhou 215000，China）

To the traditional standard of internal friction measurement，the torsion pendulum and vibration reed were preferentially recommended and the issue of strain amplitude dependence of internal friction was not taken into consideration.To more precisely measure materials’internal friction and modulusatvariousstrain amplitude，thispaperconsidersthe strain amplitude dependence of internal friction and modulus by analyzing the stress distribution in the sample in different internal friction measurement methods.The modification formulas for the measurement of internal friction and modulus versus strain-amplitude are obtained by re-deriving the principle equations for internal friction and modulus measurements by torsion pendulum and vibration reed methods from the basic definition of internal friction.This provides a new standard for precise measurement of internal friction at different strain-amplitude in the cases of high strain-amplitude excitation or high damping materials.

technique of internal friction measurement；Ke’s pendulum；vibration reed；amplitude dependence of internal friction

A

1674-5124（2017）04-0001-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.04.001

2016-06-20；

2016-08-05

国家自然科学基金项目（11274305）

方前锋（1962-），男，研究员，博导，研究方向为特种金属材料。