约束混凝土靶的准静态柱形空腔膨胀理论

詹昊雯,曹扬悦也,2,蒋志刚,宋殿义,谭清华

(1.国防科学技术大学 指挥军官基础教育学院,湖南 长沙 410072;2.代尔夫特理工大学 土木和地球科学学院,荷兰 2628CN)

约束混凝土靶的准静态柱形空腔膨胀理论

詹昊雯1,曹扬悦也1,2,蒋志刚1,宋殿义1,谭清华1

(1.国防科学技术大学 指挥军官基础教育学院,湖南 长沙 410072;2.代尔夫特理工大学 土木和地球科学学院,荷兰 2628CN)

针对射弹侵彻约束混凝土靶问题,基于Hoek-Brown(H-B)准则,建立了径向受弹性约束的有限混凝土介质准静态柱形空腔膨胀模型,得到了各种响应模式下的扩孔压力和响应模式转换条件,分析了扩孔过程以及约束效应对扩孔压力和侵彻阻力的影响。结果表明:约束混凝土靶的扩孔压力在扩孔过程中不断变化,约束刚度对响应模式和扩孔压力有显著影响;增大约束刚度可有效提高约束混凝土靶的侵彻阻力,约束混凝土靶的侵彻阻力可比半无限靶提高50%以上。

防护结构;约束混凝土;侵彻;空腔膨胀;H-B准则

由于钢管对核心混凝土的约束作用,钢管约束混凝土靶的抗侵彻性能优于普通混凝土靶[1]。硬芯枪弹侵彻试验[2-4]表明:与半无限混凝土靶相比,钢管约束混凝土靶的侵彻深度可减小10%～20%,且抗多发打击性能优良。但是,目前关于约束混凝土抗侵彻问题的理论研究很少,尚无便于工程应用的侵彻阻力计算方法。

基于空腔膨胀理论计算侵彻阻力是研究混凝土侵彻问题的常用方法[5]。Forrestal等[6]发展了无限混凝土介质空腔膨胀理论,并建立了卵形头刚性弹侵彻半无限混凝土靶的工程模型[7-8]。Li和Chen[9-10]将Forrestal模型推广到了任意弹头形状的刚性弹。黄民荣等[11]建立了基于Griffith准则的空腔膨胀模型,得到了侵彻阻力公式。Warren等[12]基于准静态球形空腔膨胀模型建立了卵形头刚性弹侵彻含水饱和混凝土靶的工程模型,理论计算结果与试验吻合较好。曹扬悦也等[13]考虑混凝土-岩石类靶粉碎区三向受压特性,基于Hoek-Brown(H-B)非线性强度准则,建立了刚性弹侵彻半无限混凝土-岩石类靶的工程模型。上述模型均针对半无限靶,尚未见到基于空腔膨胀理论的有限尺寸混凝土靶侵彻工程模型。

本文采用H-B准则描述粉碎区混凝土的强度特性,提出了钢管约束混凝土的准静态柱形空腔膨胀模型,得到了不同响应模式下的扩孔压力和转换条件的解析解,分析了扩孔过程和约束刚度的影响;得到了刚性弹侵彻约束混凝土靶的侵彻阻力计算公式,并与文献[4]硬芯枪弹侵彻试验进行了比较,考证了公式的适用性。

1 准静态有限柱形空腔膨胀模型

1.1 扩孔过程描述与基本方程

设在受径向弹性约束、半径为r0的无限长圆柱形混凝土介质内,有一同轴柱形空腔从半径为0匀速缓慢地膨胀至半径rc,弹性波到达混凝土外边界之前,为无限介质空腔膨胀,空腔外混凝土响应区由外到内依次为未扰动区、弹性区、裂纹区和粉碎区[6];弹性波到达混凝土外边界之后,即为有限空腔膨胀,径向约束对扩孔过程产生影响。根据约束刚度的大小,有限空腔膨胀的扩孔过程可能存在以下2种情况:①当约束刚度不够大、不能限制径向裂纹的发展时,有限空腔膨胀过程可分为3阶段。第一阶段为“弹性—裂纹—粉碎”响应,如图1所示,图中,k为径向弹性约束刚度,弹性区半径re等于核心混凝土半径r0。随着空腔半径的增大,粉碎区和裂纹区不断向外扩展,弹性区范围缩小,当裂纹区扩展到核心混凝土外边界时,弹性区消失,第一阶段结束。第二阶段为“裂纹—粉碎”响应,粉碎区半径rp小于裂纹区半径rcr,且rcr恒等于r0。当粉碎区扩展到核心混凝土外边界时,第二阶段结束。第三阶段为“完全粉碎”响应,rp恒等于r0。当径向约束屈服或破坏时,第三阶段结束。②当约束刚度足够大、径向约束对核心混凝土施加的径向压力足以限制裂纹区的发展时,第一阶段的裂纹区可能在尚未扩展到核心混凝土外边界之前就先于弹性区消失。这种情况下,第一阶段“弹性—裂纹—粉碎”响应的结束条件为粉碎区半径等于裂纹区半径,且均小于核心混凝土半径,即rp=rcr

需指出,若粉碎区与裂纹区同时到达核心混凝土外边界,则上述两种情况下,均不存在第二阶段,直接从第一阶段“弹性—裂纹—粉碎”响应转换为“完全粉碎”响应。由于篇幅有限,本文仅对情况①进行讨论,情况②另文讨论。

对于准静态柱形空腔膨胀,采用柱面坐标,各响应区的平衡方程均为

(1)

式中:σr为径向应力,σθ为环向应力,均以受压为正;r为空间坐标,以向外为正。

粉碎区混凝土采用H-B准则[13-14]:

(σ1-σ3)2=σu(mσ3+σu)

(2)

式中:σ1,σ3分别为最大、最小主压应力;σu为单轴抗压强度;m为无量纲经验系数[13]。

此外,采用文献[6]的假定:弹性区为小变形,符合胡克定律,且在与裂纹区交界处环向拉应力达到混凝土单轴抗拉强度σf;裂纹区环向应力为0,且在与粉碎区交界处径向压应力达到混凝土单轴抗压强度σu。

1.2 扩孔压力求解

1.2.1 弹性—裂纹—粉碎响应

弹性区(rcr

(3)

(4)

式中:E为混凝土弹性模量,ν为泊松比;u为径向位移,以向外为正。

将式(3)和式(4)代入式(1),求解位移场,并考虑边界条件(r=r0,σr=ku;r=rcr,σθ=-σf,σf为混凝土单轴抗拉强度),得:

(5)

(6)

(7)

裂纹区(rp

(8)

将式(8)代入式(1),并考虑r=rp处σr=σu和r=rcr处径向位移连续,得:

(9)

(10)

粉碎区(rc

(11)

代入式(1)得:

(12)

考虑r=rp处径向应力连续,即σr=σu,解之得:

(13)

令r=rc,σr=σrc,得到求解扩孔压力的方程:

(14)

式中:rp与rc的关系可以由r=rcr处的径向应力连续条件和r=rp处的径向位移连续条件得到。

由式(6)、式(9)和r=rcr处径向应力连续,得:

(15)

参照文献[15],忽略粉碎区密度的变化和r=rp处径向位移up的高阶项,由粉碎区质量守恒得:

(16)

考虑r=rp处径向位移连续,由式(16)和式(10)得:

(17)

联立式(15)和式(17),可得rp与rc的关系,将其代入式(14),即可求扩孔压力σrc与rc的关系。顺便指出,令r0→∞,kr0→0,可得无限介质空腔膨胀的解。

1.2.2 裂纹—粉碎响应

对于裂纹区(rp

(18)

将式(18)代入式(8),可求得σr。

粉碎区(rc

(19)

由式(14)和式(19),可求扩孔压力与rc的关系。

1.2.3 完全粉碎响应

式(12)仍然成立。忽略材料密度的变化,由质量守恒,得:

(20)

考虑r=r0处径向应力σr0=u0k,得:

(21)

积分式(12),并利用边界条件r=r0,σr=σr0,得到求解扩孔压力与rc关系的方程:

(22)

1.3 响应模式转换条件

弹性—裂纹—粉碎响应(第一阶段)存在的条件为rp

(23)

综合约束刚度kr0应满足条件:

(24)

由式(17)和式(23)可得第一阶段末(rcr=r0)的空腔半径rc1,即:

(25)

裂纹—粉碎响应存在的条件为rc1

(26)

令rp=rcr=r0,由式(15)得kr0=(kr0)max。此时,rc=rc1=rc2,即粉碎区与裂纹区同时到达核心混凝土外边界,弹性—裂纹—粉碎响应结束,直接进入完全粉碎响应阶段。

2 扩孔过程及侵彻阻力分析

参照文献[4]硬芯枪弹侵彻小直径钢管约束混凝土靶试验,取弹靶参数:弹丸直径d=12.7mm;弹芯直径d0=7.5mm,弹芯质量m0=19.7g,弹头形状系数N=0.26。混凝土密度ρc=2 140kg/m3,σu=35.8MPa,σf=-3.6MPa,泊松比0.22,弹性模量E=20.25GPa,由式(24)得,(kr0)max=55.61GPa。钢管弹性模量Es=198GPa。

2.1 扩孔过程分析

取钢管内半径r0=53.5mm,壁厚δ=3.5mm,4.5mm和5.5mm,对应的kr0=Esδ/r0[4],rc1/r0,rc2/r0如表1所示,表中kr0=55.61GPa对应的钢管壁厚δ=15.0mm。

表1 临界半径与综合约束刚度kr0的关系

由表1可知:kr0越大,rc1/r0越大,而rc2/r0越小,即随着kr0的增大,裂纹区变小;当kr0=55.61 GPa时,rc1/r0=rc2/r0,没有第二阶段。

在H-B准则中取m=15,图2给出了扩孔压力与空腔半径的关系,即扩孔过程。以kr0=16.65 GPa曲线为例,A点对应于无限介质空腔膨胀阶段;AB段为第一阶段(弹性—裂纹—粉碎响应),B点rc/r0=rc1/r0=0.011;BC段为第二阶段(裂纹—粉碎响应),C点rc/r0=rc2/r0=0.066;CD段为第三阶段(完全粉粹响应)。

由表1和图2可知:对于约束混凝土,kr0综合反映了径向弹性约束和混凝土自约束效应(外围混凝土对粉碎区混凝土的约束作用),kr0越大,扩孔压力越大。当rc/r0

2.2 侵彻阻力分析

根据文献[2～4],硬芯枪弹侵彻混凝土靶的过程可分为开坑和隧道侵彻2个阶段,开坑阶段侵彻深度为nd(d为弹丸直径,n为根据侵彻试验确定的经验系数)。基于空腔膨胀理论计算隧道阶段的侵彻深度,假设弹头表面法向压力σn由静阻力项和流动阻力项构成,并忽略摩擦力和开坑阶段弹芯的速度损失,则侵彻深度公式为

(27)

式中:v0为弹丸撞击速度;ρc为靶体混凝土密度;R为静阻力项,B为流动阻力系数。

对于钢管约束混凝土靶,本文取R为准静态有限空腔膨胀模型的扩孔压力σrc(取空腔半径等于弹芯半径计算,即rc=d0/2=3.75mm),B根据文献[4]试验由式(27)反求得到。按上述方法,表2给出了文献[4]钢管约束混凝土靶(P、D、W组)的计算结果。表中:D为钢管外径;试验所得侵彻深度记为H0,式(27)所求侵彻深度记为H1,H1相对于H0的误差记为ΔH。P、D、W组结果表明,钢管直径与壁厚对B的影响不明显,B可取平均值4.9计算(表中P、D、W组计算H1时,B取4.9)。表2中还给出了(kr0)max和S1-2的计算结果,其中(kr0)max对应于本文适用的最大综合约束刚度工况,计算中取R=σrc,B=4.9,nd取试验结果均值46.1mm;S1-2为半无限靶,由于对于枪弹侵彻半无限靶尚无合适的侵彻深度计算公式,因此按文献[11],取B=2.45,R按文献[10]中经验公式R=Sσu计算,其中S=82.6(σu/106)-0.544。

表2 侵彻深度与侵彻阻力计算

由表2可得:

①钢管约束混凝土靶(P、D、W组)和半无限靶(S1-2)的侵彻深度计算结果与文献[4]试验吻合良好,误差不大于7%。

②钢管约束混凝土靶的静阻力随着约束刚度的增大而增大。当综合约束刚度较小(kr0≤16.97 GPa)时,由于半无限靶混凝土自约束作用较强,约束混凝土靶的静阻力小于半无限靶;但当综合约束刚度较大(kr0=55.61 GPa)时,约束混凝土靶的静阻力可比半无限靶增大50%以上,侵彻深度可减小约40%。

③钢管约束混凝土靶的流动阻力系数B约为半无限靶的2倍,即钢管的约束作用有效约束了混凝土的侧向运动,从而增大了动阻力。因此,静阻力小于半无限靶(综合约束刚度较小)时,约束混凝土靶的侵彻深度仍小于半无限靶,即钢管约束混凝土靶的侵彻阻力大于半无限靶。

3 结论

本文首次提出了约束混凝土的准静态柱形空腔膨胀模型,得到了各响应模式扩孔压力及模式转化条件的解析解,分析了扩孔过程和约束效应。结果表明:

①约束混凝土的准静态扩孔过程与综合约束刚度有关。当综合约束刚度较小时,有限空腔膨胀过程分为弹性—裂纹—粉碎、裂纹-粉碎和完全粉碎响应3个阶段;当综合约束刚度达到(kr0)max时,没有裂纹—粉碎响应直接进入完全粉粹响应。

②综合约束刚度kr0越大,扩孔压力越大,侵彻阻力也越大。当kr0较大时,约束混凝土的扩孔压力始终大于无限介质空腔膨胀。

[1] 蒋志刚,甄明,刘飞,等,钢管约束混凝土抗侵彻机理的数值模拟[J].振动与冲击,2015,34(11):1-6. JIANG Zhi-gang,ZHEN Ming,LIU Fei,et al.Simulation of anti-penetration mechanism of steel tube confined concrete[J].Journal of Vibration and Shock,2015,34(11):1-6.(in Chinese)

[2] 甄明,蒋志刚,万帆,等.钢管约束混凝土抗侵彻性能试验[J].国防科技大学学报,2015,37(3):121-127. ZHEN Ming,JIANG Zhi-gang,WAN Fan,et al.Steel tube confined concrete targets penetration experiment[J].Journal of National University of Defense Technology,2015,37(3):121-127.(in Chinese)

[3] 蒋志刚,万帆,谭清华,等.钢管约束混凝土抗多发打击试验[J].国防科技大学学报,2016,38(3):120-126. JIANG Zhi-gang,WAN Fan,TAN Qing-hua,et al.Multi-hit experiments of steel-tube confined concrete targets[J].Journal of National University of Defense Technology,2016,38(3):120-126.(in Chinese)

[4] WAN Fan,JIANG Zhi-gang,TAN Qing-hua,et al.Response of steel-tube-confined concrete targets to projectile impact[J].Int J Impact Eng,2016,94:50-59.

[5] BEN-DOR G,DUBINSKY A,ELPERIN T.Analytical engineering models for predicting high speed penetration of hard projectiles into concrete shields:a review[J].Int J Damage Mechanics,2015,24(1):76-94.

[6] FORRESTAL M J,TZOU D Y.A spherical cavity-expansion penetration model for concrete targets[J].Int J Solids Struct,1997,34:4 127-4 146.

[7] FORRESTAL M J,ALTMAN B S,CARGILE J D,et al.An empirical equation for penetration depth of ogive-node projectiles into concrete targets[J].Int J Impact Eng,1994,15:395-405.

[8] FORRESTAL M J,FREW D J,HANCHAK S J,et al.Penetration of grout and concrete targets with ogive-nose steel projectiles[J].Int J Impact Eng,1996,18:465-476.

[9] CHEN X W,LI Q M.Deep penetration of a non-deformable projectile with different geometrical characteristics[J].Int J Impact Eng,2002,27:619-637.

[10] LI Q M,CHEN X W.Dimensionless formula for penetration depth of concrete target impacted by a non-deformable projectile[J].Int J Impact Eng,2003,28:93-116.

[11] 黄民荣,顾晓辉,高永宏.基于Griffith强度理论的空腔膨胀模型与应用研究[J].力学与实践,2009,31(5):30-34. HUANG Min-rong,GU Xiao-hui,GAO Yong-hong.Cavity expansion model based on the Griffith strength theory and its application[J].Mechanics in Engineering,2009,31(5):30-34.(in Chinese)

[12] WARREN T L,FORQUIN P.Penetration of common ordinary strength water saturated concrete targets by rigid ogive-nosed steel projectiles[J].Int J Impact Eng,2016,90:37-45.

[13] 曹扬悦也,蒋志刚,谭清华,等.基于Hoek-Brown准则的混凝土-岩石类靶侵彻模型[J].振动与冲击,2017,36(5):48-53,60. CAO Yang-yue-ye,JIANG Zhi-gang,TAN Qing-hua,et al.Penetration model for concrete-rock targets based on Hoek-Brown criterion[J].Journal of Vibration and Shock,2017,36(2):7-12.(in Chinese)

[14] HOEK E,BROWN E T.Empirical strength criterion for rock masses[J].Journal of the Geotechnical Engineering Division,1980,9:1 013-35.

[15] SATAPATHY S,BLESS S.Calculation of penetration resistance of brittle materials using spherical cavity expansion analysis[J].Mechanics of Materials,1996,23:323-330.

Quasi-static Cylindrical Cavity-expansion Model for Confined-concrete Targets

ZHAN Hao-wen1,CAO Yang-yue-ye1,2,JIANG Zhi-gang1,SONG Dian-yi1,TAN Qing-hua1

(1.College of Basic Education,National University of Defense Technology,Changsha 410072,China; 2.CITG,Delft University of Technology,Netherland 2628CN)

Aiming at the problem of projectile penetrating into confined concrete target,a quasi-static cylindrical cavity-expansion model for finite concrete target with radially elastic confinement was established based on the Hoek-Brown(H-B)criterion.The pressure at cavity wall and the transition conditions of response modes were obtained.The influence of cavity expansion process and confinement on pressure at cavity wall was also analyzed.The results show that the pressure at cavity wall and resistance of penetration constantly vary during the process of cavity expansion,and the confinement stiffness has significant effect on response modes and pressure at cavity wall.It can greatly improve penetration resistance of confined concrete to increase confinement stiffness.The penetration resistance of confined concrete target is larger than that of semi-infinite concrete target by 50%.

protective structure;confined concrete;penetration;cavity expansion;Hoek-Brown(H-B)criterion

2016-12-02

国家自然科学基金项目(51308539);国防科学技术大学优秀研究生创新资助(S5150901)

詹昊雯(1994- ),女,硕士研究生,研究方向为武器效应与防护。E-mail:283262252@qq.com。

曹扬悦也(1991- ),女,博士研究生,研究方向为计算力学。E-mail:cy3yeah@outlook.com。

TH212;TH213.3

A

1004-499X(2017)02-0013-06